Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(d) integral x e^3 x^2-7 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x e^3 x^2-7 , dx. Aqui, vamos usar a técnica de substituição, que é útil quando conseguimos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma parte da expressão para substituir. Observando o expoente, temos 3x^2 - 7. Vamos definir uma nova variável u para simplificar:
u = 3x^2 - 7

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = 6x
Isso significa que:
du = 6x , dx

Passo 4

Queremos expressar x , dx em termos de du. Dividindo os dois lados da equação por 6, temos:
x , dx = du6

Passo 5

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x e^3x^2-7 , dx = integral e^u cdot du6 = 16 integral e^u , du

Passo 6

Agora, integramos e^u em relação a u:
16 integral e^u , du = 16 e^u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
16 e^3x^2-7 + C

Resposta

boxed16 e^3x^2-7 + C

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