Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(a) integral(7 x^5 / 2+4)^7 x^3 / 2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida de (7 x^5 / 2+4)^7 x^3 / 2 d x usando a técnica de substituição. Isso envolve identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão dentro da potência, podemos definir:
u = 7x^5/2 + 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = 7 cdot 52 x^3/2 = 352 x^3/2
Isso significa que:
du = 352 x^3/2 dx Rightarrow x^3/2 dx = 235 du
Agora, substituímos u e x^3/2 dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral (7x^5/2 + 4)^7 x^3/2 dx = integral u^7 cdot 235 du = 235 integral u^7 du
Integrando u^7:
235 cdot u^88 + C = 235 cdot (7x^5/2 + 4)^88 + C = (7x^5/2 + 4)^8140 + C

Resposta

integral(7 x^5 / 2+4)^7 x^3 / 2 d x = (7x^5/2 + 4)^8140 + C

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