Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(g) integral ln (7 x-8)7 x-8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral ln (7x - 8)7x - 8 , dx usando a técnica de substituição. Aqui, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar a integral e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro do logaritmo: 7x - 8. Isso parece uma boa pista para nossa substituição. Vamos deixar:
u = 7x - 8

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para achar du:
dudx = 7 Rightarrow du = 7 , dx Rightarrow dx = du7

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral ln (7x - 8)7x - 8 , dx = integral ln uu cdot du7 = 17 integral ln uu , du

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral ln uu , du. Essa integral é conhecida e sua antiderivada é:
integral ln uu , du = (ln u)^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos voltar para a variável original substituindo u = 7x - 8:
17 cdot (ln u)^22 + C = (ln (7x - 8))^214 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral ln (7x - 8)7x - 8 , dx = (ln (7x - 8))^214 + C

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