Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(q) integral sen(2 x)raiz1+sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma parte da função para chamar de e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que . Então, substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar . Assim, a derivada de du = cos x , dx em relação a é:
Isso significa que .

Passo 4

Vamos substituir na nossa integral. Sabendo que e integral 2u cdot duraiz1 + u^2 , a integral fica:

Passo 5

Agora, a gente tem uma integral mais fácil de resolver:
2 integral uraiz1 + u^2 , du
Para resolver isso, usamos uma nova substituição. Vamos deixar dv = 2u , du Rightarrow u , du = dv2 . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
2 integral uraizv cdot dv2 = integral raizv1 , dv = integral raizv , dv

Passo 7

Integrando integral v^1/2 , dv = 23 v^3/2 + C , obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, voltamos às substituições anteriores. Lembrando que 23 (1 + u^2)^3/2 + C = 23 (1 + sen^2 x)^3/2 + C e , substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é:

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