Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área da região
no plano, que está limitada pelas curvas
,
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de áreas entre curvas, e para isso, vamos precisar integrar a diferença entre essas funções no intervalo de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo dado. A função
é uma exponencial crescente, enquanto
é uma parábola que abre para baixo. Nosso objetivo é ver qual dessas funções está acima da outra de
a
.
Passo 3
Para descobrir qual função está acima, vamos calcular os valores de
para alguns pontos entre 0 e 2. Por exemplo, em
:
Então, em
,
está acima de
. Como as duas funções se cruzam apenas nos limites do intervalo, sabemos que
é sempre maior ou igual a
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, para encontrar a área entre essas curvas de
a
, vamos calcular a integral da diferença entre as funções:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 2:
Para :
Para
Para
:
Então, a área é:
Simplificando:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo
.
(a)
Calcule as integrais definidas:
(k)
(k)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
©
©
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(g)
(g)