Determine a área da região R do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(d) y=2^x, y=2*x-x^2, x=0 e x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área da região no plano, que está limitada pelas curvas , , e . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de áreas entre curvas, e para isso, vamos precisar integrar a diferença entre essas funções no intervalo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo dado. A função é uma exponencial crescente, enquanto é uma parábola que abre para baixo. Nosso objetivo é ver qual dessas funções está acima da outra de a .

Passo 3

Para descobrir qual função está acima, vamos calcular os valores de para alguns pontos entre 0 e 2. Por exemplo, em :
Então, em , está acima de . Como as duas funções se cruzam apenas nos limites do intervalo, sabemos que é sempre maior ou igual a nesse intervalo.

Passo 4

Agora, para encontrar a área entre essas curvas de a , vamos calcular a integral da diferença entre as funções:
Á
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Á
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 2:
Para :
Para :
Então, a área é:
Á
Simplificando:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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