Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(i) integral 1sen^2(3 x-1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida usando a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções trigonométricas e as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 3 Rightarrow dx = du3 em relação a :
Agora, substituímos por e por na integral original.

Passo 4

A integral fica assim:
integral 1sen^2(u) cdot du3 = 13 integral csc^2(u) , du
Aqui, usamos que é igual a .

Passo 5

Sabemos que a integral de 13 integral csc^2(u) , du = 13 ( -cot(u) ) + C é . Então, aplicando a regra de integração:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos -13 cot(3x - 1) + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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