Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e) integral(x^4-1) e^x^5-5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas trocando partes delas por uma variável mais fácil de trabalhar. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o expoente da função exponencial, que é u = x^5 - 5x . Vamos chamar isso de . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 5x^4 - 5 em relação a para ver como ela se relaciona com o que está na integral. Derivando :

Passo 4

Observamos que na integral temos du = (5x^4 - 5) dx = 5(x^4 - 1) dx . Vamos ver como isso se relaciona com a derivada que encontramos. Podemos fatorar o da derivada:
Isso mostra que é igual a .

Passo 5

Agora, substituímos na integral original. Isso fica:
integral(x^4-1) e^x^5-5 x dx = integral e^u cdot du5 = 15 integral e^u du

Passo 6

A integral de 15 integral e^u du = 15 e^u + C em relação a é simplesmente . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original 15 e^u + C = 15 e^x^5 - 5x + C , substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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