Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas trocando partes delas por uma variável mais fácil de trabalhar. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o expoente da função exponencial, que é
. Vamos chamar isso de
. Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para ver como ela se relaciona com o que está na integral. Derivando
:
Passo 4
Observamos que na integral temos
. Vamos ver como isso se relaciona com a derivada que encontramos. Podemos fatorar o
da derivada:
Isso mostra que
é igual a
.
Passo 5
Agora, substituímos na integral original. Isso fica:
Passo 6
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original
, substituindo
de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(o) e
.
(o)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(i) e
.
(i)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(i)
(i)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
§
§