Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(f) integral 2 cos ^2 x+tg xcos x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e simplificação de expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
2 cos^2 xcos x + tg xcos x = 2 cos x + tan xcos x

Passo 3

Sabemos que 2 cos x + sin xcos xcos x = 2 cos x + sin xcos^2 x . Então, substituindo na expressão acima:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
integral ( 2 cos x + sin xcos^2 x ) dx
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2 cos x , dx + integral sin xcos^2 x , dx
A primeira integral é direta, e para a segunda, podemos usar substituição.

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral 2 cos x , dx = 2 sin x + C1

Passo 7

Agora, para a segunda integral , fazemos uma substituição:
Seja , então , ou .

Passo 8

Substituindo na integral:
integral sin xcos^2 x , dx = integral -duu^2 = - integral u^-2 du = 1u + C2 = 1cos x + C2

Resposta

Assim, a integral é:
2 sin x + 1cos x + C

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