integral1^2 integral0^x y ln x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e como lidar com limites de integração que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a ordem de integração. Aqui, a integral interna é em relação a , de até , e a externa é em relação a , de até . Vamos resolver passo a passo começando pela integral interna.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna integral0^x y ln x , dy = ln x integral0^x y , dy . Note que é constante em relação a , então podemos tirá-la da integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver integral0^x y , dy = [ y^22 ]0^x = x^22 - 0^22 = x^22 . A integral de ln x cdot x^22 = x^2 ln x2 em relação a é :
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir isso na integral externa:
integral1^2 x^2 ln x2 , dx = 12 integral1^2 x^2 ln x , dx
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes. Vamos definir:
  • integral x^2 ln x , dx = x^33 ln x - integral x^33 cdot 1x dx = x^33 ln x - 13 integral x^2 , dx integral x^2 ln x , dx = x^33 ln x - 13 cdot x^33 = x^33 ln x - x^39
Então, pela fórmula de integração por partes ( ):
Resolvendo , temos:

Resposta

Substituindo os limites de 12 [ ( 2^33 ln 2 - 2^39 ) - ( 1^33 ln 1 - 1^39 ) ] a 12 [ ( 83 ln 2 - 89 ) - ( 0 - 19 ) ] = 12 ( 83 ln 2 - 89 + 19 ) = 12 ( 83 ln 2 - 79 ) :
43 ln 2 - 718
Simplificando:
Finalmente:
Então, o valor da integral dupla é .

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