Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e como lidar com limites de integração que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a ordem de integração. Aqui, a integral interna é em relação a
, de
até
, e a externa é em relação a
, de
até
. Vamos resolver passo a passo começando pela integral interna.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna
. Note que
é constante em relação a
, então podemos tirá-la da integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver
. A integral de
em relação a
é
:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir isso na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes. Vamos definir:
Então, pela fórmula de integração por partes (
):
Resolvendo
, temos:
Resposta
Substituindo os limites de
a
:
Simplificando:
Finalmente:
Então, o valor da integral dupla é
.