Determine as derivadas parciais indicadas. f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y, partial^3 fpartial x^3, partial^3 fpartial x partial y partial x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão nos dá uma função e pede para encontrarmos duas derivadas parciais de terceira ordem: e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que são derivadas de uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante. Como estamos lidando com derivadas de terceira ordem, vamos derivar a função três vezes, seguindo a ordem indicada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de f(x, y) = x^4 y^2 - x^3 y em relação a partial fpartial x = 4x^3 y^2 - 3x^2 y . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira derivada partial fpartial x = 4x^3 y^2 - 3x^2 y novamente em relação a partial^2 fpartial x^2 = 12x^2 y^2 - 6x y para obter a segunda derivada parcial em relação a .
Derivando em rela��ão a :

Passo 4

Vamos repetir o processo para obter a terceira derivada parcial em relação a partial^2 fpartial x^2 = 12x^2 y^2 - 6x y .
partial^3 fpartial x^3 = 24x y^2 - 6 y
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial partial fpartial x = 4x^3 y^2 - 3x^2 y . Isso significa que vamos derivar a função três vezes, primeiro em relação a , depois a , e por fim novamente a .
Começamos pela primeira derivada em relação a :

Passo 6

Em seguida, derivamos a primeira derivada partial fpartial x = 4x^3 y^2 - 3x^2 y em relação a partial^2 fpartial y partial x = 8x^3 y - 3x^2 :
Derivando em relação a :

Passo 7

Por último, derivamos a segunda derivada partial^2 fpartial y partial x = 8x^3 y - 3x^2 novamente em relação a partial^3 fpartial x partial y partial x = 24x^2 y - 6x :
Derivando em relação a :

Resposta

A terceira derivada parcial em relação a é e a derivada parcial de terceira ordem é .

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