Determine as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão nos dá uma função e pede para encontrarmos duas derivadas parciais de terceira ordem: e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que são derivadas de uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante. Como estamos lidando com derivadas de terceira ordem, vamos derivar a função três vezes, seguindo a ordem indicada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira derivada novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial em relação a .
Derivando em rela��ão a :

Passo 4

Vamos repetir o processo para obter a terceira derivada parcial em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial . Isso significa que vamos derivar a função três vezes, primeiro em relação a , depois a , e por fim novamente a .
Começamos pela primeira derivada em relação a :

Passo 6

Em seguida, derivamos a primeira derivada em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 7

Por último, derivamos a segunda derivada novamente em relação a :
Derivando em relação a :

Resposta

A terceira derivada parcial em relação a é e a derivada parcial de terceira ordem é .

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Calcule as integrais indepinidas abaixo