Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A questão nos dá uma função
e pede para encontrarmos duas derivadas parciais de terceira ordem:
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que são derivadas de uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante. Como estamos lidando com derivadas de terceira ordem, vamos derivar a função três vezes, seguindo a ordem indicada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira derivada
novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial em relação a
.
Derivando em rela��ão a
:
Passo 4
Vamos repetir o processo para obter a terceira derivada parcial em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial
. Isso significa que vamos derivar a função três vezes, primeiro em relação a
, depois a
, e por fim novamente a
.
Começamos pela primeira derivada em relação a
:
Passo 6
Em seguida, derivamos a primeira derivada
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Por último, derivamos a segunda derivada
novamente em relação a
:
Derivando em relação a
:
Resposta
A terceira derivada parcial em relação a
é
e a derivada parcial de terceira ordem
é
.
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, no qual a função
possa ser aproximada por
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