Calcule as integrais indicadas por partes
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
Estamos lidando com integração por substituição, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
Isso é útil porque o denominador da nossa fração é
, que agora vira
. Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Precisamos expressar
em termos de
e
. Observando que:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral:
Passo 5
A integral fica então:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando cada parte:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta:
Resposta
A integral é
onde
é a constante de integração.
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