Calcule as integrais indicadas por partes
I=integral x^3raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
I = integral x^3raiz1 - x^2 , dx
Estamos lidando com integração por substituição, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
t = 1 - x^2
Isso é útil porque o denominador da nossa fração é raiz1 - x^2, que agora vira raizt. Agora, precisamos calcular a derivada de t em relação a x para substituir dx.

Passo 3

Calculando a derivada de t:
dtdx = -2x Rightarrow dt = -2x , dx
Precisamos expressar x^3 , dx em termos de t e dt. Observando que:
x^3 , dx = x^2 cdot x , dx
Sabemos que x^2 = 1 - t, então:
x^3 , dx = (1 - t) cdot (-dt2) = -1 - t2 , dt

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
I = integral x^3raiz1 - x^2 , dx = integral -1 - t2 , dtraizt = -12 integral 1 - traizt , dt
Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral:
1 - traizt = 1raizt - raizt

Passo 5

A integral fica então:
I = -12 integral ( t^-12 - t^12 ) , dt
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada parte:
integral t^-12 , dt = 2 raizt integral t^12 , dt = 23 t^32
Substituindo de volta na integral:
I = -12 ( 2 raizt - 23 t^32 ) + C
Simplificando:
I = -raizt + 13 t^32 + C

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição t = 1 - x^2, vamos substituir de volta:
I = -raiz1 - x^2 + 13 (1 - x^2)^32 + C

Resposta

A integral é
I = -raiz1 - x^2 + 13 (1 - x^2)^32 + C
onde C é a constante de integração.

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