Calcule as integrais indicadas por partes

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
Estamos lidando com integração por substituição, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
Isso é útil porque o denominador da nossa fração é , que agora vira . Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Precisamos expressar em termos de e . Observando que:
Sabemos que , então:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral:

Passo 5

A integral fica então:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada parte:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral é
onde é a constante de integração.

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