Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar potências de funções trigonométricas usando substituição e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Então,
. Para integrar essa expressão, uma boa estratégia é separar uma potência de
e usar identidades trigonométricas para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Sabemos que
. Isso nos ajuda a preparar a expressão para uma substituição.
Passo 4
Agora, fazemos a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então
.
Passo 6
Substituindo de volta, a integral fica:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para termos expressos em termos de
. Quando
,
. Quando
,
. Então, os novos limites são de -1 a 1.
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos expandir
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 9
Somando todas as partes:
Resposta
A integral vale
.
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