Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
I=integral-pi / 4^pi / 4 sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar potências de funções trigonométricas usando substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, . Para integrar essa expressão, uma boa estratégia é separar uma potência de e usar identidades trigonométricas para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever como . Sabemos que . Isso nos ajuda a preparar a expressão para uma substituição.

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
I = integral-pi / 4^pi /4 sec^4 x cdot sec^2 x , dx = integral-pi /4^pi /4 sec^4 x , du
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo de volta, a integral fica:
I = integral-pi /4^pi /4 (1 + u^2)^2 , du
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para termos expressos em termos de . Quando , . Quando , . Então, os novos limites são de -1 a 1.

Passo 7

Agora, a integral fica:
I = integral-1^1 (1 + u^2)^2 , du
Vamos expandir (1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4 :
I = integral-1^1 (1 + 2u^2 + u^4) , du
Então, a integral se torna:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
I = integral-1^1 1 , du + 2 integral-1^1 u^2 , du + integral-1^1 u^4 , du
Calculando cada integral:
integral-1^1 1 , du = [u]-1^1 = 1 - (-1) = 2
2 integral-1^1 u^2 , du = 2 [ u^33 ]-1^1 = 2 ( 13 - (-1)^33 ) = 2 ( 13 + 13 ) = 43
integral-1^1 u^4 , du = [ u^55 ]-1^1 = 15 - (-1)^55 = 15 + 15 = 25

Passo 9

Somando todas as partes:
I = 2 + 43 + 25 = 3015 + 2015 + 615 = 5615

Resposta

A integral vale .

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