Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar potências de funções trigonométricas usando substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, . Para integrar essa expressão, uma boa estratégia é separar uma potência de e usar identidades trigonométricas para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever como . Sabemos que . Isso nos ajuda a preparar a expressão para uma substituição.

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo de volta, a integral fica:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para termos expressos em termos de . Quando , . Quando , . Então, os novos limites são de -1 a 1.

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos expandir :
Então, a integral se torna:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 9

Somando todas as partes:

Resposta

A integral vale .

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