Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o grau do numerador e do denominador. O numerador é
(grau 2) e o denominador é
(grau 1). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos reescrever a fração para facilitar a divisão:
Agora, vamos dividir
por
.
Passo 4
Dividindo
por
, obtemos
. Multiplicamos
por
e subtraímos o resultado do numerador:
Subtraindo:
Passo 5
Agora, temos:
Vamos simplificar o termo restante
. Podemos reescrever o numerador para facilitar a divisão:
Passo 6
Para integrar
, basta aplicar a regra da potência:
Agora, vamos focar na parte restante
.
Passo 7
Vamos usar a substituição. Seja
, então
ou
.
Expressamos o numerador em termos de
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Substituindo
de volta:
Passo 10
Agora, reunindo tudo:
Simplificando:
Resposta
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Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)