Calcule as integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o grau do numerador e do denominador. O numerador é (grau 2) e o denominador é (grau 1). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos reescrever a fração para facilitar a divisão:
Agora, vamos dividir por .

Passo 4

Dividindo por , obtemos . Multiplicamos por e subtraímos o resultado do numerador:
Subtraindo:

Passo 5

Agora, temos:
Vamos simplificar o termo restante . Podemos reescrever o numerador para facilitar a divisão:

Passo 6

Para integrar , basta aplicar a regra da potência:
Agora, vamos focar na parte restante .

Passo 7

Vamos usar a substituição. Seja , então ou .
Expressamos o numerador em termos de :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Agora, reunindo tudo:
Simplificando:

Resposta

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Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)