Calcule as integrais
integral 5-y^23+2 y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o grau do numerador e do denominador. O numerador é (grau 2) e o denominador é (grau 1). Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos reescrever a fração para facilitar a divisão:
5 - y^23 + 2y = -y^2 + 0y + 52y + 3
Agora, vamos dividir por .

Passo 4

Dividindo -y2 times (2y + 3) = -y^2 - 3y2 por (-y^2 + 0y + 5) - (-y^2 - 3y2) = 3y2 + 5 , obtemos . Multiplicamos por e subtraímos o resultado do numerador:
Subtraindo:

Passo 5

Agora, temos:
5 - y^23 + 2y = -y2 + 3y2 + 52y + 3
Vamos simplificar o termo restante 3y2 + 5 = 32y + 5 . Podemos reescrever o numerador para facilitar a divisão:

Passo 6

Para integrar integral -y2 , dy = -12 cdot y^22 = -y^24 , basta aplicar a regra da potência:
Agora, vamos focar na parte restante .

Passo 7

Vamos usar a substituição. Seja 32y + 5 = 32 ( u - 32 ) + 5 = 3(u - 3)4 + 5 = 3u - 94 + 204 = 3u + 114 , então ou .
Expressamos o numerador em termos de :

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral 3u + 114u cdot du2 = 18 integral ( 3uu + 11u ) du = 18 integral (3 + 11u) du
Integrando termo a termo:
18 ( 3u + 11 ln |u| ) + C

Passo 9

Substituindo 18 ( 3(2y + 3) + 11 ln |2y + 3| ) + C = 3(2y + 3)8 + 118 ln |2y + 3| + C de volta:

Passo 10

Agora, reunindo tudo:
-y^24 + 3(2y + 3)8 + 118 ln |2y + 3| + C
Simplificando:
-y^24 + 3y4 + 98 + 118 ln |2y + 3| + C

Resposta

boxed -y^24 + 3y4 + 98 + 118 ln |2y + 3| + C

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