Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de substituição para resolver integrais que envolvem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a função dentro do cosseno é
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
que seja uma função de
.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculamos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Lembrando que temos uma identidade trigonométrica útil:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando cada termo separadamente:
Portanto:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Resposta
A integral é igual a
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