Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
I=integral x cot ^2(2 x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
I = integral x cot^2(2 x^2) , dx
Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de substituição para resolver integrais que envolvem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função dentro do cosseno é . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável que seja uma função de .

Passo 3

Vamos definir:
u = 2x^2
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx Rightarrow x , dx = du4 em relação a para substituir na integral. Calculamos:

Passo 4

Substituindo I = integral x cot^2(2 x^2) , dx = integral cot^2(u) cdot du4 = 14 integral cot^2(u) , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cot^2(u) = csc^2(u) - 1 . Lembrando que temos uma identidade trigonométrica útil:
14 integral cot^2(u) , du = 14 integral ( csc^2(u) - 1 ) , du = 14 ( integral csc^2(u) , du - integral 1 , du )
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
integral csc^2(u) , du = -cot(u) + C integral 1 , du = u + C
Portanto:
14 ( -cot(u) - u ) + C = -14 cot(u) - 14 u + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original -14 cot(2x^2) - 14 cdot 2x^2 + C = -14 cot(2x^2) - 12 x^2 + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a
I = -14 cot(2x^2) - 12 x^2 + C

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