Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de substituição para resolver integrais que envolvem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função dentro do cosseno é . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável que seja uma função de .

Passo 3

Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculamos:

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Lembrando que temos uma identidade trigonométrica útil:
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
Portanto:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indicadas por partes
Calcule as integrais
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)