Calcule as integrais indicadas por partes
I=integral e^3 x sin (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse método é parte do cálculo integral e a gente vai precisar identificar funções que se repetem quando derivadas e integradas.

Passo 2

Primeiro, lembrando como funciona a integração por partes: usamos a fórmula
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher e . Assim, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando as derivadas e integrais:
du = 3 e^3x , dx
v = integral sin(5x) , dx = -15 cos(5x)
Agora, substituímos esses valores na fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
I = uv - integral v , du = e^3x ( -15 cos(5x) ) - integral ( -15 cos(5x) ) cdot 3 e^3x , dx
Simplificando:
I = -15 e^3x cos(5x) + 35 integral e^3x cos(5x) , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral u = e^3x, dv = cos(5x) , dx usando integração por partes novamente. Escolhemos:
du = 3 e^3x , dx
Calculando v = integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x) e :

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^3x cos(5x) , dx = e^3x cdot 15 sin(5x) - integral 15 sin(5x) cdot 3 e^3x , dx
Simplificando:
integral e^3x cos(5x) , dx = 15 e^3x sin(5x) - 35 integral e^3x sin(5x) , dx

Passo 7

Voltando à expressão original do I = -15 e^3x cos(5x) + 35 ( 15 e^3x sin(5x) - 35 I ) :
I = -15 e^3x cos(5x) + 325 e^3x sin(5x) - 925 I
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos isolar o I + 925 I = -15 e^3x cos(5x) + 325 e^3x sin(5x) :
3425 I = -15 e^3x cos(5x) + 325 e^3x sin(5x)
I = 2534 ( -15 e^3x cos(5x) + 325 e^3x sin(5x) )
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
I = -534 e^3x cos(5x) + 334 e^3x sin(5x) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral e^3x sin(5x) , dx = e^3x34 ( 3 sin(5x) - 5 cos(5x) ) + C

Exercícios relacionados