Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, podemos reescrever como . Aplicando a identidade:
Isso vai facilitar a integração, pois expandiremos essa expressão para termos mais simples.

Passo 3

Vamos expandir usando a fórmula do binômio de Newton:
Aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
Para integrar as potências de , usaremos a técnica de substituição.

Passo 5

Vamos começar integrando . Sabemos que:
Aplicando isso para e :
Primeiro, faremos uma substituição: seja , então ou .
Então:
Aplicando a fórmula:
Repetiremos o processo para .

Passo 6

Resumindo todas as integrais:
Agora, substituímos e simplificamos:
Após simplificar todos os termos, chegamos à solução final.

Resposta

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

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Determine o módulo de:
Calcule as integrais indicadas por partes
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Sejam e conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) Se então .
(b) Se então .
© Se então .
(d) Se então .