Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Então, podemos reescrever
como
. Aplicando a identidade:
Isso vai facilitar a integração, pois expandiremos essa expressão para termos mais simples.
Passo 3
Vamos expandir
usando a fórmula do binômio de Newton:
Aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
Para integrar as potências de
, usaremos a técnica de substituição.
Passo 5
Vamos começar integrando
. Sabemos que:
Aplicando isso para
e
:
Primeiro, faremos uma substituição: seja
, então
ou
.
Então:
Aplicando a fórmula:
Repetiremos o processo para
.
Passo 6
Resumindo todas as integrais:
Agora, substituímos e simplificamos:
Após simplificar todos os termos, chegamos à solução final.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o módulo de:
Calcule as integrais indicadas por partes
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Sejam
e
conjuntos. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) Se então
.
(b) Se então
.
© Se então
.
(d) Se então
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se