Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
I=integral tan ^6(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de tan^6(3x) em relação a x. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^6(3x). Sabemos que tan^2(x) = sec^2(x) - 1. Então, podemos reescrever tan^6(3x) como (tan^2(3x))^3. Aplicando a identidade:
tan^6(3x) = (sec^2(3x) - 1)^3
Isso vai facilitar a integração, pois expandiremos essa expressão para termos mais simples.

Passo 3

Vamos expandir (sec^2(3x) - 1)^3 usando a fórmula do binômio de Newton:
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Aplicando isso à nossa expressão:
(sec^2(3x) - 1)^3 = sec^6(3x) - 3sec^4(3x) + 3sec^2(3x) - 1
Agora, nossa integral fica:
I = integral ( sec^6(3x) - 3sec^4(3x) + 3sec^2(3x) - 1 ) dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral sec^6(3x) dx
  2. -3 integral sec^4(3x) dx
  3. 3 integral sec^2(3x) dx
  4. - integral 1 , dx
Para integrar as potências de sec, usaremos a técnica de substituição.

Passo 5

Vamos começar integrando sec^6(3x). Sabemos que:
integral sec^n(u) du = sec^n-2(u)tan(u)n-1 + n-2n-1 integral sec^n-2(u) du
Aplicando isso para n=6 e u=3x:
Primeiro, faremos uma substituição: seja u = 3x, então du = 3 dx ou dx = du3.
Então:
integral sec^6(3x) dx = 13 integral sec^6(u) du
Aplicando a fórmula:
13 ( sec^4(u)tan(u)5 + 45 integral sec^4(u) du )
Repetiremos o processo para integral sec^4(u) du.

Passo 6

Resumindo todas as integrais:
  1. integral sec^6(3x) dx = sec^4(3x)tan(3x)15 + 415 integral sec^4(3x) dx
  2. -3 integral sec^4(3x) dx = -3 ( sec^2(3x)tan(3x)6 + 26 integral sec^2(3x) dx )
  3. 3 integral sec^2(3x) dx = 3 ( tan(3x)3 ) = tan(3x)
  4. - integral 1 , dx = -x
Agora, substituímos e simplificamos:
I = sec^4(3x)tan(3x)15 + 415 ( sec^2(3x)tan(3x)3 + 23 cdot tan(3x)3 ) - 12 sec^2(3x)tan(3x) - x + tan(3x) + C
Após simplificar todos os termos, chegamos à solução final.

Resposta

A integral de tan^6(3x) em relação a x é:
I = sec^4(3x)tan(3x)15 - sec^2(3x)tan(3x)5 + tan(3x) - x + C
onde C é a constante de integração.

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