Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral d xx raiz25-x^2

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: calcular a integral
I = integral dxx raiz25 - x^2
Vamos usar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões que envolvem raiza^2 - x^2. Para resolver essa integral, vamos precisar de conhecimentos sobre substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Como temos raiz25 - x^2, podemos observar que isso se assemelha à forma raiza^2 - x^2. Nesse caso, a^2 = 25, então a = 5. Usamos a substituição:
x = a sin theta Rightarrow x = 5 sin theta

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx em termos de theta. Derivando ambos os lados da substituição:
dx = 5 cos theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
I = integral 5 cos theta , dtheta5 sin theta cdot raiz25 - 25 sin^2 theta
Simplificando dentro da raiz:
raiz25 - 25 sin^2 theta = raiz25 (1 - sin^2 theta) = raiz25 cos^2 theta = 5 cos theta

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
I = integral 5 cos theta , dtheta5 sin theta cdot 5 cos theta = integral 5 cos theta25 sin theta cos theta , dtheta = integral 15 sin theta , dtheta
Simplificando:
I = 15 integral 1sin theta , dtheta = 15 integral csc theta , dtheta

Passo 6

A integral de csc theta é uma integral padrão:
integral csc theta , dtheta = ln |tan (theta/2)| + C
Então,
I = 15 ln |tan (theta/2)| + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 5 sin theta, podemos achar theta em termos de x:
sin theta = x5 Rightarrow theta = arcsin ( x5 )
Além disso, podemos expressar tan (theta/2) usando a identidade:
tan ( theta2 ) = 1 - cos thetasin theta
Sabemos que cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - x^225 = raiz25 - x^25.
Então,
tan ( theta2 ) = 1 - raiz25 - x^25x5 = 5 - raiz25 - x^2x

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para I:
I = 15 ln | 5 - raiz25 - x^2x | + C

Resposta

Portanto, a integral é
I = 15 ln | 5 - raiz25 - x^2x | + C

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