Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício: calcular a integral
Vamos usar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões que envolvem . Para resolver essa integral, vamos precisar de conhecimentos sobre substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Como temos , podemos observar que isso se assemelha à forma . Nesse caso, , então . Usamos a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos calcular em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando:
Passo 6
A integral de é uma integral padrão:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos achar em termos de :
Além disso, podemos expressar usando a identidade: