Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: calcular a integral
Vamos usar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões que envolvem . Para resolver essa integral, vamos precisar de conhecimentos sobre substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Como temos , podemos observar que isso se assemelha à forma . Nesse caso, , então . Usamos a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos calcular em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando:

Passo 6

A integral de é uma integral padrão:
Então,

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos achar em termos de :
Além disso, podemos expressar usando a identidade:
Sabemos que .
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

Portanto, a integral é

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