Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício: calcular a integral
Vamos usar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões que envolvem
. Para resolver essa integral, vamos precisar de conhecimentos sobre substituição trigonométrica e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Como temos
, podemos observar que isso se assemelha à forma
. Nesse caso,
, então
. Usamos a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
em termos de
. Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando:
Passo 6
A integral de
é uma integral padrão:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, podemos achar
em termos de
:
Além disso, podemos expressar
usando a identidade:
Sabemos que
.
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
Portanto, a integral é