Determine o módulo de: (i + 2) / (i - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o módulo da expressão (i + 2) / (i - 2). Isso está relacionado ao estudo dos números complexos, especificamente ao cálculo do módulo de uma divisão de complexos. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o módulo de números complexos e como simplificar essa fração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um número complexo pode ser escrito na forma , onde a é a parte real e b é a parte imaginária. O módulo desse número, que representa a distância desse ponto no plano complexo até a origem, é calculado pela fórmula:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o módulo da fração (i + 2) / (i - 2). Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo é . Nesse caso, o conjugado de é .

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:

Passo 5

Vamos calcular o numerador:
Lembrando que :

Passo 6

Agora, o denominador:
Novamente, usando :

Passo 7

Agora, temos a fração simplificada:

Passo 8

Para encontrar o módulo desse número complexo, usamos a fórmula mencionada no Passo 2:

Resposta

O módulo de (i + 2) / (i - 2) é 1.

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