Calcule as integrais indicadas por partes
I=integral0^1 x arcsin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Esse exercício envolve o cálculo de integrais por partes, uma técnica que usamos quando a integral é o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u = arcsin(x) Rightarrow du = 1raiz1 - x^2 , dx e dv = x , dx Rightarrow v = x^22 na nossa integral. Aqui, é bom escolher como a função que fica mais simples quando derivada, e como a que podemos integrar facilmente.
Escolhemos:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
I = uv - integral v , du
Substituindo I = arcsin(x) cdot x^22 |0^1 - integral0^1 x^22 cdot 1raiz1 - x^2 , dx , , :

Passo 4

Vamos calcular o primeiro termo:
arcsin(1) = pi2 e arcsin(0) = 0
Então:
arcsin(x) cdot x^22 |0^1 = pi2 cdot 12 - 0 = pi4
Portanto:
I = pi4 - 12 integral0^1 x^2raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante. Observamos que:
x^2raiz1 - x^2 = 1 - (1 - x^2)raiz1 - x^2 = 1raiz1 - x^2 - raiz1 - x^2
Então:
integral0^1 x^2raiz1 - x^2 , dx = integral0^1 1raiz1 - x^2 , dx - integral0^1 raiz1 - x^2 , dx

Passo 6

Calculamos cada uma dessas integrais separadamente:
  1. integral0^1 1raiz1 - x^2 , dx = arcsin(1) - arcsin(0) = pi2 - 0 = pi2
    Assim:
    x raiz1 - x^22 + arcsin(x)2 + C
  2. [ x raiz1 - x^22 + arcsin(x)2 ]0^1 = (0 + pi4) - (0 + 0) = pi4 é uma integral padrão que resulta em:
    Avaliada de 0 a 1:

Passo 7

Substituindo de volta:
integral0^1 x^2raiz1 - x^2 , dx = pi2 - pi4 = pi4
Portanto:
I = pi4 - 12 cdot pi4 = pi4 - pi8 = pi8

Resposta

A integral é igual a .

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