Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais por partes, uma técnica que usamos quando a integral é o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes e na nossa integral. Aqui, é bom escolher como a função que fica mais simples quando derivada, e como a que podemos integrar facilmente.
Escolhemos:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , :
Passo 4
Vamos calcular o primeiro termo:
arcsin(1) = pi2 e arcsin(0) = 0
Então:
arcsin(x) cdot x^22 |0^1 = pi2 cdot 12 - 0 = pi4
Portanto:
I = pi4 - 12 integral0^1 x^2raiz1 - x^2 , dx
Passo 5
Vamos simplificar a integral restante. Observamos que: