Calcule as integrais indicadas por partes
I=integral0^2 x^2 3^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a integração por partes mais de uma vez devido ao termo .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso significa que escolhemos partes da nossa função para e , calculamos e , e então aplicamos a fórmula para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa integral. Escolhemos:
u = x^2 e dv = 3^x , dx
Agora, precisamos encontrar du = 2x , dx e integral a^x , dx = a^xln a + C :
v = 3^xln 3
Para encontrar , integremos . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
I = u cdot v - integral v , du = x^2 cdot 3^xln 3 - integral 3^xln 3 cdot 2x , dx
Simplificando:
I = x^2 cdot 3^xln 3 - 2ln 3 integral x cdot 3^x , dx
Agora, temos uma nova integral que também precisará de integração por partes.

Passo 5

Vamos resolver u = x e dv = 3^x , dx usando integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
du = dx e v = 3^xln 3
Então,
integral x cdot 3^x , dx = x cdot 3^xln 3 - integral 3^xln 3 cdot dx = x cdot 3^xln 3 - 1ln 3 integral 3^x , dx
Aplicando a fórmula:
integral 3^x , dx = 3^xln 3 + C
Integrando integral x cdot 3^x , dx = x cdot 3^xln 3 - 1(ln 3)^2 cdot 3^x + C :
Então,

Passo 6

Voltando à nossa expressão original para I = x^2 cdot 3^xln 3 - 2ln 3 ( x cdot 3^xln 3 - 3^x(ln 3)^2 ) + C :
I = x^2 cdot 3^xln 3 - 2x cdot 3^x(ln 3)^2 + 2 cdot 3^x(ln 3)^3 + C
Simplificando:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2.

Resposta

Substituindo os limites:
I = [ x^2 cdot 3^xln 3 - 2x cdot 3^x(ln 3)^2 + 2 cdot 3^x(ln 3)^3 ]0^2
Calculando em 4 cdot 9ln 3 - 4 cdot 9(ln 3)^2 + 2 cdot 9(ln 3)^3 = 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 18(ln 3)^3 :
0 - 0 + 2 cdot 1(ln 3)^3 = 2(ln 3)^3
Calculando em I = ( 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 18(ln 3)^3 ) - 2(ln 3)^3 = 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 16(ln 3)^3 :
Portanto, o valor final da integral é:
Esse é o valor exato da integral definida.

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