Calcule as integrais indicadas por partes
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a integração por partes mais de uma vez devido ao termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
Isso significa que escolhemos partes da nossa função para
e
, calculamos
e
, e então aplicamos a fórmula para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa integral. Escolhemos:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Para encontrar
, integremos
. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Agora, temos uma nova integral
que também precisará de integração por partes.
Passo 5
Vamos resolver
usando integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Então,
Aplicando a fórmula:
Integrando
:
Então,
Passo 6
Voltando à nossa expressão original para
:
Simplificando:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2.
Resposta
Substituindo os limites:
Calculando em
:
Calculando em
:
Portanto, o valor final da integral é:
Esse é o valor exato da integral definida.