Sejam
e
campos escalares. Seja
a região limitada pela curva
. Mostre que
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que uma certa integral de linha ao redor de uma curva
é igual a uma integral dupla sobre a região
que essa curva limita. A gente vai trabalhar com cálculo vetorial, mais especificamente com o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Então, precisamos entender como aplicar esse teorema para chegar na igualdade que o exercício propõe.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral de linha que temos. O lado esquerdo da equação é:
Aqui, temos uma combinação de termos envolvendo derivadas parciais de
e
em relação às variáveis
e
.
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser relacionada a uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula geral do Teorema de Green é:
Nosso objetivo é ajustar a integral dada para encaixar nessa fórmula.
Passo 4
Vamos atribuir valores a
e
de maneira que a integral de linha que temos se encaixe na fórmula do Teorema de Green. Observando a integral:
Podemos definir:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, precisamos calcular
:
Então,
Passo 6
Com isso, aplicando o Teorema de Green, temos:
Resposta
Assim, mostramos que: