Sejam u(x, y) e v(x, y) campos escalares. Seja R a região limitada pela curva C. Mostre que
b) 12 ointC(v partial upartial x-u partial vpartial x) d x+(u partial vpartial y-v partial upartial y) d y=integral duplaR(u partial^2 vpartial x partial y-v partial^2 upartial x partial y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que uma certa integral de linha ao redor de uma curva é igual a uma integral dupla sobre a região que essa curva limita. A gente vai trabalhar com cálculo vetorial, mais especificamente com o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas. Então, precisamos entender como aplicar esse teorema para chegar na igualdade que o exercício propõe.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral de linha que temos. O lado esquerdo da equação é:
12 ointC(v partial upartial x - u partial vpartial x) dx + (u partial vpartial y - v partial upartial y) dy
Aqui, temos uma combinação de termos envolvendo derivadas parciais de e em relação às variáveis e .

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy pode ser relacionada a uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula geral do Teorema de Green é:
Nosso objetivo é ajustar a integral dada para encaixar nessa fórmula.

Passo 4

Vamos atribuir valores a 12 ointC [ (v partial upartial x - u partial vpartial x) dx + (u partial vpartial y - v partial upartial y) dy ] e P = 12 (v partial upartial x - u partial vpartial x) de maneira que a integral de linha que temos se encaixe na fórmula do Teorema de Green. Observando a integral:
Q = 12 (u partial vpartial y - v partial upartial y)
Podemos definir:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, precisamos calcular partial Qpartial x = 12 ( partial upartial x partial vpartial y + u partial^2 vpartial x partial y - partial vpartial x partial upartial y - v partial^2 upartial x partial y ) :
partial Ppartial y = 12 ( partial vpartial y partial upartial x + v partial^2 upartial y partial x - partial upartial y partial vpartial x - u partial^2 vpartial y partial x )
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12 ( u partial^2 vpartial x partial y - v partial^2 upartial x partial y ) - 12 ( v partial^2 upartial x partial y - u partial^2 vpartial x partial y ) = u partial^2 vpartial x partial y - v partial^2 upartial x partial y
Então,

Passo 6

Com isso, aplicando o Teorema de Green, temos:
12 ointC (v partial upartial x - u partial vpartial x) dx + (u partial vpartial y - v partial upartial y) dy = integral duplaR (u partial^2 vpartial x partial y - v partial^2 upartial x partial y) dx , dy

Resposta

Assim, mostramos que:
12 ointC(v partial upartial x-u partial vpartial x) dx + (u partial vpartial y-v partial upartial y) dy = integral duplaR(u partial^2 vpartial x partial y-v partial^2 upartial x partial y) dx , dy

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