Calcule as integrais indicadas por partes
I=integral0^2 x e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções, como aqui, onde temos e . Para isso, precisamos identificar qual parte da integral será e qual será .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e :
  • Seja . Assim, vamos precisar derivar .
  • Isto implica que . E vamos precisar integrar .

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivando , temos .
  • Integrando , temos .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
I = x cdot 12 e^2x gr|0^2 - integral0^2 12 e^2x , dx

Passo 5

Vamos calcular o primeiro termo na avaliação entre 0 e 2:
x cdot 12 e^2x gr|0^2 = 12 cdot 2 cdot e^4 - 12 cdot 0 cdot e^0 = e^4

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^2 12 e^2x , dx = 12 cdot 12 e^2x gr|0^2 = 14 (e^4 - 1)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
I = e^4 - 14 (e^4 - 1) = e^4 - 14 e^4 + 14 = 34 e^4 + 14

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
I = 34 e^4 + 14

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