Resolva as integrais abaixo: integral d x1+e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dx1 + e^x. Esse exercício faz parte de Cálculo Integral, onde vamos integrar uma função que envolve uma exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que o denominador é 1 + e^x. Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos chamar:
u = 1 + e^x

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para realizar a substituição completa. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = e^x
Isso significa que:
du = e^x dx

Passo 4

Mas na nossa integral original, temos apenas dx, não e^x dx. Então, precisamos reescrever dx em termos de du. A partir da equação du = e^x dx, podemos isolar dx:
dx = due^x
No entanto, sabemos que u = 1 + e^x, então e^x = u - 1. Substituindo isso, temos:
dx = duu - 1

Passo 5

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral dx1 + e^x = integral duu - 1u = integral duu(u - 1)

Passo 6

Para resolver a integral integral duu(u - 1), vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
1u(u - 1) = Au + Bu - 1
Multiplicando ambos os lados por u(u - 1), obtemos:
1 = A(u - 1) + B u

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Escolhemos valores de u que simplificam a equação:
  • Se u = 1:
1 = A(1 - 1) + B(1) Rightarrow 1 = B Rightarrow B = 1
  • Se u = 0:
1 = A(0 - 1) + B(0) Rightarrow 1 = -A Rightarrow A = -1

Passo 8

Com A = -1 e B = 1, a fração parcial fica:
1u(u - 1) = -1u + 1u - 1
Agora, a integral fica:
integral ( -1u + 1u - 1 ) du = -integral 1u du + integral 1u - 1 du

Passo 9

Integrando termo a termo:
-ln|u| + ln|u - 1| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 10

Agora, substituímos de volta u = 1 + e^x:
-ln|1 + e^x| + ln|e^x| + C
Sabemos que ln|e^x| = x, então:
-ln(1 + e^x) + x + C

Resposta

A integral integral dx1 + e^x é igual a x - ln(1 + e^x) + C, onde C é a constante de integração. Portanto,
integral dx1 + e^x = x - ln(1 + e^x) + C

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