Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício faz parte de Cálculo Integral, onde vamos integrar uma função que envolve uma exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que o denominador é
. Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para realizar a substituição completa. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Mas na nossa integral original, temos apenas
, não
. Então, precisamos reescrever
em termos de
. A partir da equação
, podemos isolar
:
No entanto, sabemos que
, então
. Substituindo isso, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 8
Com
e
, a fração parcial fica:
Agora, a integral fica:
Passo 9
Integrando termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, substituímos de volta
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração. Portanto,