Sejam u(x, y) e v(x, y) campos escalares. Seja R a região limitada pela curva C. Mostre que
a) ointC u v d x+u v d y=integral duplaR v(partial upartial x-partial upartial y)+u(partial vpartial x-partial vpartial y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que uma integral de linha ao redor de uma curva pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Estamos trabalhando com campos escalares e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas em um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar brevemente o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para funções ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy e com derivadas contínuas, a integral de linha ao redor da curva é igual à integral dupla sobre a região de:
Nosso objetivo é ajustar isso para o que temos no problema.

Passo 3

No enunciado, temos a integral de linha:
ointC u v , dx + u v , dy
Podemos identificar e . Porém, ao aplicar diretamente o Teorema de Green dessa forma, não chegamos exatamente ao que é pedido. Isso sugere que precisamos manipular um pouco mais as expressões.

Passo 4

Vamos expandir o lado direito da expressão que queremos provar:
integral duplaR v(partial upartial x - partial upartial y) + u(partial vpartial x - partial vpartial y) dx , dy
Distribuindo = integral duplaR v partial upartial x - v partial upartial y + u partial vpartial x - u partial vpartial y dx , dy e :

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar = integral duplaR ( v partial upartial x + u partial vpartial x ) - ( v partial upartial y + u partial vpartial y ) dx , dy e , que estão relacionados aos termos de derivadas cruzadas no Teorema de Green:

Passo 6

Observe que podemos reescrever os termos agrupados como derivadas:
v partial upartial x + u partial vpartial x = partial (u v)partial x
e
v partial upartial y + u partial vpartial y = partial (u v)partial y
Então nossa integral fica:
= integral duplaR partial (u v)partial x - partial (u v)partial y dx , dy

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Green. Lembrando que:
integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy = ointC P , dx + Q , dy
No nosso caso, temos:
P = u v e Q = -u v
Substituindo no teorema:
ointC u v , dx - u v , dy = integral duplaR ( partial (-u v)partial x - partial (u v)partial y ) dx , dy
Isso nos dá:
ointC u v , dx + u v , dy = integral duplaR ( v partial upartial x - v partial upartial y + u partial vpartial x - u partial vpartial y ) dx , dy

Resposta

Portanto, mostramos que:
ointC u v , dx + u v , dy = integral duplaR v(partial upartial x - partial upartial y) + u(partial vpartial x - partial vpartial y) dx , dy

Exercícios relacionados