Sejam
e
campos escalares. Seja
a região limitada pela curva
. Mostre que
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que uma integral de linha ao redor de uma curva
pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
delimitada por essa curva. Estamos trabalhando com campos escalares
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas em um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar brevemente o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para funções
e
com derivadas contínuas, a integral de linha ao redor da curva
é igual à integral dupla sobre a região
de:
Nosso objetivo é ajustar isso para o que temos no problema.
Passo 3
No enunciado, temos a integral de linha:
Podemos identificar
e
. Porém, ao aplicar diretamente o Teorema de Green dessa forma, não chegamos exatamente ao que é pedido. Isso sugere que precisamos manipular um pouco mais as expressões.
Passo 4
Vamos expandir o lado direito da expressão que queremos provar:
Distribuindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar
e
, que estão relacionados aos termos de derivadas cruzadas no Teorema de Green:
Passo 6
Observe que podemos reescrever os termos agrupados como derivadas:
e
Então nossa integral fica:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema de Green. Lembrando que:
No nosso caso, temos:
Substituindo no teorema:
Isso nos dá:
Resposta
Portanto, mostramos que: