Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais: b(t) = 2 sen(t) i + 4 j + 3 cos(t) k, t ∈ [0, 2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial , onde t varia de 0 a . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa curva no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender sobre funções vetoriais, como representar curvas no espaço 3D e aplicar trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função vetorial em suas componentes individuais. Temos três direções: i (eixo x), vec(j) (eixo y) e k (eixo z). Então, podemos escrever:
Isso significa que para cada valor de t, determinamos uma posição no espaço tridimensional com essas coordenadas.

Passo 3

Observando as componentes, notamos que y(t) é sempre igual a 4, independentemente de t. Isso indica que a curva está sempre no plano onde . Então, nossa curva vai ficar fixada nesse plano horizontal.

Passo 4

Agora, vamos analisar as componentes x(t) e z(t). Temos:
Essas são parábolas trigonométricas que descrevem movimentos cíclicos ao longo dos eixos x e z.

Passo 5

Para entender melhor a forma da curva, podemos relacionar x(t) e z(t). Sabemos que:
Vamos manipular as equações de x(t) e z(t) para se adequarem a essa identidade:
Isso simplifica para:

Passo 6

A equação representa uma elipse no plano xz, com semi-eixos de comprimento 2 e 3 nas direções x e z, respectivamente. Como , essa elipse está localizada no plano .

Passo 7

Juntando tudo, a curva representada pela função vetorial é uma elipse no plano horizontal , com semi-eixos de 2 unidades ao longo do eixo x e 3 unidades ao longo do eixo z. Conforme t varia de 0 a , percorremos toda essa elipse uma vez.

Resposta

A curva é uma elipse situada no plano , com semi-eixos de 2 unidades no eixo x e 3 unidades no eixo z, formando uma trajetória oval no espaço tridimensional.

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