Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
, onde
varia de
a
. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa curva no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender sobre funções vetoriais, como representar curvas no espaço 3D e aplicar trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função vetorial em suas componentes individuais. Temos três direções:
(eixo x),
(eixo y) e
(eixo z). Então, podemos escrever:
Isso significa que para cada valor de
, determinamos uma posição no espaço tridimensional com essas coordenadas.
Passo 3
Observando as componentes, notamos que
é sempre igual a 4, independentemente de
. Isso indica que a curva está sempre no plano onde
. Então, nossa curva vai ficar fixada nesse plano horizontal.
Passo 4
Agora, vamos analisar as componentes
e
. Temos:
Essas são parábolas trigonométricas que descrevem movimentos cíclicos ao longo dos eixos x e z.
Passo 5
Para entender melhor a forma da curva, podemos relacionar
e
. Sabemos que:
Vamos manipular as equações de
e
para se adequarem a essa identidade:
Isso simplifica para:
Passo 6
A equação
representa uma elipse no plano xz, com semi-eixos de comprimento 2 e 3 nas direções x e z, respectivamente. Como
, essa elipse está localizada no plano
.
Passo 7
Juntando tudo, a curva representada pela função vetorial
é uma elipse no plano horizontal
, com semi-eixos de 2 unidades ao longo do eixo x e 3 unidades ao longo do eixo z. Conforme
varia de
a
, percorremos toda essa elipse uma vez.
Resposta
A curva é uma elipse situada no plano
, com semi-eixos de 2 unidades no eixo x e 3 unidades no eixo z, formando uma trajetória oval no espaço tridimensional.