Calcule as integrais inprópreas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
. Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e lidar com limites que vão ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes, já que os limites são de
a
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Vamos analisar cada parte separadamente. Começando com
. Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Agora, avaliamos de
a
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos para a outra parte:
. Novamente, usamos integração por partes com:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Avalie de
a
:
Quando
,
, e
, o que é indeterminado, mas na prática,
cresce muito mais rápido que
, fazendo com que
tenda a
.
Portanto:
Então,
.
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, a integral
é igual a 0.
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Calcule
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Determine a derivada da função indicada:
Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo que nem
nem
existam.