Calcule as integrais inprópreas integral-infty^+infty x e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e lidar com limites que vão ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes, já que os limites são de integral-infty^+infty x e^-x , dx = integral-infty^0 x e^-x , dx + integral0^+infty x e^-x , dx a . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente. Começando com integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x + C . Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde escolhemos:
  • limb to +infty [ -b e^-b - e^-b ] - [ -0 cdot e^0 - e^0 ] = 0 - (-1) = 1
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Agora, avaliamos de a :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos para a outra parte: integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x + C . Novamente, usamos integração por partes com:
  • lima to -infty [ -0 cdot e^0 - e^0 ] - [ -a e^-a - e^-a ] = -1 - lima to -infty ( -a e^-a - e^-a ) -1 - 0 = -1
Aplicando a fórmula:
Avalie de a :
Quando , , e , o que é indeterminado, mas na prática, cresce muito mais rápido que , fazendo com que tenda a .
Portanto:
Então, .

Resposta

Somando as duas partes, temos:
integral-infty^+infty x e^-x , dx = (-1) + 1 = 0
Portanto, a integral é igual a 0.

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