Calcule as integrais inprópreas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e lidar com limites que vão ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes, já que os limites são de a . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente. Começando com . Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Agora, avaliamos de a :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos para a outra parte: . Novamente, usamos integração por partes com:
Aplicando a fórmula:
Avalie de a :
Quando , , e , o que é indeterminado, mas na prática, cresce muito mais rápido que , fazendo com que tenda a .
Portanto:
Então, .

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Portanto, a integral é igual a 0.

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Calcule
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Determine a derivada da função indicada:
Mostre por meio de um exemplo que pode existir mesmo que nem nem existam.