Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo que nem
nem
existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar com um exemplo que o limite de
quando
se aproxima de
pode existir mesmo que os limites de
e
individualmente não existam. Isso envolve o estudo de limites de funções e como elas podem interagir. Para resolver, vamos precisar criar duas funções que, individualmente, não têm limite quando
se aproxima de
, mas cujo produto tenha um limite definido.
Passo 2
Vamos escolher
para facilitar. Vamos definir duas funções
e
da seguinte forma:
Essas funções alternam entre 1 e -1 dependendo do lado de onde
se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos analisar os limites individuais:
-
Limite de
quando se aproxima de 0: Como os limites à direita e à esquerda são diferentes,não existe. -
Limite de
quando se aproxima de 0: Assim como, não existe.
Agora, vamos calcular o limite do produto
:
Portanto, para qualquer
diferente de 0,
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a derivada da função indicada:
Calcule as integrais inprópreas
Dar um exemplo:
e
,
.
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.