Mostre por meio de um exemplo que lim x a[f(x) g(x)] pode existir mesmo que nem lim x a f(x) nem lim x a g(x) existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar com um exemplo que o limite de quando se aproxima de pode existir mesmo que os limites de e individualmente não existam. Isso envolve o estudo de limites de funções e como elas podem interagir. Para resolver, vamos precisar criar duas funções que, individualmente, não têm limite quando se aproxima de , mas cujo produto tenha um limite definido.

Passo 2

Vamos escolher f(x) = 1, & se x > 0 -1, & se x < 0 para facilitar. Vamos definir duas funções g(x) = 1, & se x > 0 -1, & se x < 0 e da seguinte forma:
Essas funções alternam entre 1 e -1 dependendo do lado de onde se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos analisar os limites individuais:
  • Limite de limx to 0^+ f(x) = 1 quando limx to 0^- f(x) = -1 se aproxima de 0:
    limx to 0^+ g(x) = 1
    limx to 0^- g(x) = -1
    Como os limites à direita e à esquerda são diferentes, f(x) cdot g(x) = 1 cdot 1 = 1, & se x > 0 -1 cdot -1 = 1, & se x < 0 não existe.
  • Limite de quando se aproxima de 0:
    Assim como , não existe.
Agora, vamos calcular o limite do produto :
Portanto, para qualquer diferente de 0, .

Resposta

limx to 0 [f(x) cdot g(x)] = 1

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