Determine a vaira sab va vegias da eurva
no untervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar certa coisa da função
no intervalo
. Parece que precisamos explorar as propriedades dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função polinomial de grau 4, o que significa que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y e tem um formato de “parabola” mais complexa.
Passo 3
Agora, para analisar o comportamento da função no intervalo dado, vamos calcular a primeira derivada, que nos ajuda a encontrar os pontos onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada, que nos dá informações sobre a concavidade da função:
Avaliar a segunda derivada no ponto crítico
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar um outro método para determinar a natureza do ponto.
Passo 6
Vamos analisar a primeira derivada em torno de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Isso mostra que a função está decrescendo antes de
e crescendo depois de
, indicando que
é um ponto de mínimo.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a função nos extremos do intervalo para encontrar os valores mínimos e máximos no intervalo
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
No intervalo
, a função
tem um mínimo em
com valor
e um máximo em
com valor
.
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