Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume do sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo ), e em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros, que é ótimo para rotações em torno de linhas verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método envolve imaginar a região como sendo composta por vários cilindros finos empilhados lado a lado. Cada cilindro tem um raio, uma altura e uma espessura pequena (dx). A fórmula para o volume de cada cilindro é , onde é a distância da reta de rotação até o cilindro, é a altura do cilindro e é a espessura.
Passo 3
No nosso caso, a reta de rotação é . A distância de cada ponto até essa reta é . A altura de cada cilindro é dada pela função . Então, o volume de cada cilindro é .
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de até :
Podemos fatorar o para facilitar:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
⇒
⇒
A fórmula da integração por partes é . Aplicando isso:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 7
Finalmente, substituímos de volta na expressão do volume: