Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume do sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo ), e em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros, que é ótimo para rotações em torno de linhas verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método envolve imaginar a região como sendo composta por vários cilindros finos empilhados lado a lado. Cada cilindro tem um raio, uma altura e uma espessura pequena (dx). A fórmula para o volume de cada cilindro é , onde é a distância da reta de rotação até o cilindro, é a altura do cilindro e é a espessura.

Passo 3

No nosso caso, a reta de rotação é . A distância de cada ponto até essa reta é . A altura de cada cilindro é dada pela função . Então, o volume de cada cilindro é .

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de até :
Podemos fatorar o para facilitar:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
A fórmula da integração por partes é . Aplicando isso:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva as inequações:
(i) .
Calcule as integrais inprópreas
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de:
(b) .
Mostre que a área da elipse é . (Sugestão: calcule um quarto dessa área, obtendo a área delimitada pelos eixos coordenados e a curva no primeiro quadrante.)