Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
e
em torno de:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume do sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo
),
e
em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros, que é ótimo para rotações em torno de linhas verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método envolve imaginar a região como sendo composta por vários cilindros finos empilhados lado a lado. Cada cilindro tem um raio, uma altura e uma espessura pequena (dx). A fórmula para o volume de cada cilindro é
, onde
é a distância da reta de rotação até o cilindro,
é a altura do cilindro e
é a espessura.
Passo 3
No nosso caso, a reta de rotação é
. A distância
de cada ponto
até essa reta é
. A altura
de cada cilindro é dada pela função
. Então, o volume de cada cilindro é
.
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de
até
:
Podemos fatorar o
para facilitar:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
A fórmula da integração por partes é
. Aplicando isso:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 7
Finalmente, substituímos de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.