Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
& lim x 4 x-1x^2-1 ; lim x 0 x^2 sen 1x & lim x 1(1x-1+1x^2-3 x+2) ; lim x 9 raizx(x-9)^4 ; & lim x pi sen x2+cos x ; lim x 4^+ 4-x|4-x| ; & lim x infty raizx^2-92 x-6 ; lim x -infty raizx^2-92 x-6 ; & lim x pi^- ln (sen x) ; lim x infty(raizx^2+4 x+1-x) & lim x -infty(x^2+2 x^7) ; lim x infty sen^2 xx^2+1 & lim x infty(raizx^2+a x-raizx^2+b x) lim x 0^+(1x-ln x)

Passo 1

Vamos resolver o primeiro limite:
lim x 4 x-1x^2-1
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções racionais. Para resolver, precisamos simplificar a expressão e verificar o comportamento dela quando se aproxima de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
x - 1(x - 1)(x + 1) = 1x + 1
Note que podemos cancelar o termo no numerador e denominador, desde que .

Passo 4

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
lim x 4 1x + 1 = 14 + 1 = 15

Passo 5

Vamos ao segundo limite:
Este limite envolve a função seno e a análise de funções oscilatórias. Precisamos entender como se comporta quando lim x 0 x^2 sen 1x se aproxima de 0.

Passo 6

Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por -1 <= sen 1x <= 1 (positivo para - x^2 <= x^2 sen 1x <= x^2 próximo de 0):

Passo 7

Como lim x 0 -x^2 = 0 e lim x 0 x^2 = 0 está se aproximando de 0, sabemos que lim x 0 x^2 sen 1x = 0 também se aproxima de 0. Pelo Teorema do Encaixe (Sandwich Theorem):
Portanto:

Passo 8

Vamos resolver o terceiro limite:
lim x 1(1x-1+1x^2-3 x+2)
Aqui, lidamos com funções racionais e possíveis descontinuidades. Precisamos analisar o comportamento próximo a .

Passo 9

Primeiro, fatoramos o denominador da segunda fração:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Assim, a expressão se torna:
1x - 1 + 1(x - 1)(x - 2) = 1x - 1 (1 + 1x - 2)

Passo 10

Reescrevemos a expressão combinando as frações:
1x - 1 + 1(x - 1)(x - 2) = x - 2 + 1(x - 1)(x - 2) = x - 1(x - 1)(x - 2) = 1x - 2
Cancelamos o termo no numerador e denominador, desde que .

Passo 11

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
lim x 1 1x - 2 = 11 - 2 = -1

Passo 12

Vamos ao quarto limite:
lim x 9 raizx(x-9)^4
Este limite envolve uma raiz quadrada e uma potência no denominador. Precisamos analisar o comportamento quando se aproxima de 9.

Passo 13

Substituindo raiz9(9-9)^4 = 30 :
Isso sugere que o limite tende ao infinito, mas precisamos verificar o sinal.

Passo 14

Como se aproxima de 9, o denominador é sempre positivo (qualquer potência par é positiva) e tende a 0. O numerador tende a 3.

Passo 15

Portanto, o limite é .

Passo 16

Vamos resolver o quinto limite:
Trata-se de uma função contínua envolvendo seno e cosseno. Podemos substituir diretamente.

Passo 17

Substituindo sen pi2 + cos pi = 02 + (-1) = 01 = 0 :

Passo 18

Agora, o sexto limite:
lim x 4^+ 4-x|4-x|
Este é um limite lateral (à direita de 4) envolvendo valor absoluto. Precisamos analisar o sinal da expressão.

Passo 19

Quando 4 - x|4 - x| = 4 - xx - 4 = -(x - 4)x - 4 = -1 se aproxima de 4 pela direita ( ):

  • Portanto:

Passo 20

Vamos ao sétimo limite:
lim x infty raizx^2-92 x-6
Trata-se de um limite no infinito envolvendo funções polinomiais e radicais.

Passo 21

Dividimos numerador e denominador por raizx^2 - 92x - 6 = x raiz1 - 9x^2x(2 - 6x) = raiz1 - 9x^22 - 6x :

Passo 22

Quando tende ao infinito:
  • , então
  • , então

Passo 23

Portanto:
12 = 0.5

Passo 24

Agora, o oitavo limite:
lim x -infty raizx^2-92 x-6
Novamente, um limite no infinito, mas agora quando tende a menos infinito.

Passo 25

Para -x2x - 6 = -x2x(1 - 3x) = -12(1 - 3x) negativo e grande em módulo, (pois é negativo):

Passo 26

Quando tende a :
  • , então

Passo 27

Portanto:
-12 = -0.5

Passo 28

Vamos ao nono limite:
Esse limite envolve a função logaritmo e o seno. Precisamos analisar o comportamento de quando lim x pi^- ln (sen x) se aproxima de pela esquerda.

Passo 29

Sabemos que . Para próximo de e menor que :
  • é positivo e se aproxima de 0.

Passo 30

O logaritmo natural de um número que se aproxima de 0 pela positiva tende a ln (sen x) -infty :

Passo 31

Agora, o décimo limite:
lim x infty(raizx^2+4 x+1-x)
Trata-se de um limite no infinito envolvendo radicais e termos lineares.

Passo 32

Multiplicamos e dividimos pela conjugada para simplificar:
raizx^2+4x+1 - x = (raizx^2+4x+1 - x)(raizx^2+4x+1 + x)raizx^2+4x+1 + x = x^2+4x+1 - x^2raizx^2+4x+1 + x = 4x + 1raizx^2+4x+1 + x

Passo 33

Dividimos numerador e denominador por 4 + 1xraiz1 + 4x + 1x^2 + 1 :

Passo 34

Quando tende a :

Passo 35

Portanto:
4 + 01 + 1 = 42 = 2

Passo 36

Vamos ao décimo primeiro limite:
lim x -infty(x^2+2 x^7)
Aqui lidamos com polinômios e o comportamento quando tende a .

Passo 37

Analisamos os termos de maior grau:
  • domina quando tende a .

Passo 38

Para negativo e grande em módulo:
  • é negativo (pois a potência é ímpar).
  • tende a .

Passo 39

Portanto:
x^2 + 2x^7 approx 2x^7 -infty

Passo 40

Agora, o décimo segundo limite:
Este limite envolve a função seno ao quadrado e um polinômio no denominador.

Passo 41

Sabemos que para todo 0 <= sen^2 xx^2+1 <= 1x^2+1 :

Passo 42

Quando lim x infty sen^2 xx^2+1 = 0 tende a , . Pelo Teorema do Encaixe:

Passo 43

Vamos ao décimo terceiro limite:
lim x infty(raizx^2+a x-raizx^2+b x)
Este limite envolve radicais com termos lineares.

Passo 44

Multiplicamos e dividimos pela conjugada:
(raizx^2+a x - raizx^2+b x) cdot raizx^2+a x + raizx^2+b xraizx^2+a x + raizx^2+b x = (x^2+a x) - (x^2+b x)raizx^2+a x + raizx^2+b x = (a - b)xraizx^2+a x + raizx^2+b x

Passo 45

Dividimos numerador e denominador por (a - b)raiz1 + ax + raiz1 + bx :

Passo 46

Quando a - b1 + 1 = a - b2 tende a , e :

Passo 47

Por último, o décimo quarto limite:
lim x 0^+(1x-ln x)
Este limite envolve a análise de funções quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 48

Analisamos cada termo separadamente:
  • tende a quando
  • tende a quando

Passo 49

Somando os dois termos:
1x - ln x +infty - (-infty) = +infty

Resposta

O limite é .

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