Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

Passo 1

Vamos resolver o primeiro limite:
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções racionais. Para resolver, precisamos simplificar a expressão e verificar o comportamento dela quando se aproxima de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
Note que podemos cancelar o termo no numerador e denominador, desde que .

Passo 4

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:

Passo 5

Vamos ao segundo limite:
Este limite envolve a função seno e a análise de funções oscilatórias. Precisamos entender como se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 6

Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por (positivo para próximo de 0):

Passo 7

Como está se aproximando de 0, sabemos que também se aproxima de 0. Pelo Teorema do Encaixe (Sandwich Theorem):
Portanto:

Passo 8

Vamos resolver o terceiro limite:
Aqui, lidamos com funções racionais e possíveis descontinuidades. Precisamos analisar o comportamento próximo a .

Passo 9

Primeiro, fatoramos o denominador da segunda fração:
Assim, a expressão se torna:

Passo 10

Reescrevemos a expressão combinando as frações:
Cancelamos o termo no numerador e denominador, desde que .

Passo 11

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:

Passo 12

Vamos ao quarto limite:
Este limite envolve uma raiz quadrada e uma potência no denominador. Precisamos analisar o comportamento quando se aproxima de 9.

Passo 13

Substituindo :
Isso sugere que o limite tende ao infinito, mas precisamos verificar o sinal.

Passo 14

Como se aproxima de 9, o denominador é sempre positivo (qualquer potência par é positiva) e tende a 0. O numerador tende a 3.

Passo 15

Portanto, o limite é .

Passo 16

Vamos resolver o quinto limite:
Trata-se de uma função contínua envolvendo seno e cosseno. Podemos substituir diretamente.

Passo 17

Substituindo :

Passo 18

Agora, o sexto limite:
Este é um limite lateral (à direita de 4) envolvendo valor absoluto. Precisamos analisar o sinal da expressão.

Passo 19

Quando se aproxima de 4 pela direita ( ):

  • Portanto:

Passo 20

Vamos ao sétimo limite:
Trata-se de um limite no infinito envolvendo funções polinomiais e radicais.

Passo 21

Dividimos numerador e denominador por :

Passo 22

Quando tende ao infinito:
  • , então
  • , então

Passo 23

Portanto:

Passo 24

Agora, o oitavo limite:
Novamente, um limite no infinito, mas agora quando tende a menos infinito.

Passo 25

Para negativo e grande em módulo, (pois é negativo):

Passo 26

Quando tende a :
  • , então

Passo 27

Portanto:

Passo 28

Vamos ao nono limite:
Esse limite envolve a função logaritmo e o seno. Precisamos analisar o comportamento de quando se aproxima de pela esquerda.

Passo 29

Sabemos que . Para próximo de e menor que :
  • é positivo e se aproxima de 0.

Passo 30

O logaritmo natural de um número que se aproxima de 0 pela positiva tende a :

Passo 31

Agora, o décimo limite:
Trata-se de um limite no infinito envolvendo radicais e termos lineares.

Passo 32

Multiplicamos e dividimos pela conjugada para simplificar:

Passo 33

Dividimos numerador e denominador por :

Passo 34

Quando tende a :

Passo 35

Portanto:

Passo 36

Vamos ao décimo primeiro limite:
Aqui lidamos com polinômios e o comportamento quando tende a .

Passo 37

Analisamos os termos de maior grau:
  • domina quando tende a .

Passo 38

Para negativo e grande em módulo:
  • é negativo (pois a potência é ímpar).
  • tende a .

Passo 39

Portanto:

Passo 40

Agora, o décimo segundo limite:
Este limite envolve a função seno ao quadrado e um polinômio no denominador.

Passo 41

Sabemos que para todo :

Passo 42

Quando tende a , . Pelo Teorema do Encaixe:

Passo 43

Vamos ao décimo terceiro limite:
Este limite envolve radicais com termos lineares.

Passo 44

Multiplicamos e dividimos pela conjugada:

Passo 45

Dividimos numerador e denominador por :

Passo 46

Quando tende a , e :

Passo 47

Por último, o décimo quarto limite:
Este limite envolve a análise de funções quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 48

Analisamos cada termo separadamente:
  • tende a quando
  • tende a quando

Passo 49

Somando os dois termos:

Resposta

O limite é .

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Calcule as integrail
Calcule as integrais inprópreas