Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
Vamos resolver o primeiro limite:
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções racionais. Para resolver, precisamos simplificar a expressão e verificar o comportamento dela quando
se aproxima de 4.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
Note que podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, desde que
.
Passo 4
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Passo 5
Vamos ao segundo limite:
Este limite envolve a função seno e a análise de funções oscilatórias. Precisamos entender como se comporta quando
se aproxima de 0.
Passo 6
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por
(positivo para
próximo de 0):
Passo 7
Como
está se aproximando de 0, sabemos que
também se aproxima de 0. Pelo Teorema do Encaixe (Sandwich Theorem):
Portanto:
Passo 8
Vamos resolver o terceiro limite:
Aqui, lidamos com funções racionais e possíveis descontinuidades. Precisamos analisar o comportamento próximo a
.
Passo 9
Primeiro, fatoramos o denominador da segunda fração:
Assim, a expressão se torna:
Passo 10
Reescrevemos a expressão combinando as frações:
Cancelamos o termo
no numerador e denominador, desde que
.
Passo 11
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:
Passo 12
Vamos ao quarto limite:
Este limite envolve uma raiz quadrada e uma potência no denominador. Precisamos analisar o comportamento quando
se aproxima de 9.
Passo 13
Substituindo
:
Isso sugere que o limite tende ao infinito, mas precisamos verificar o sinal.
Passo 14
Como
se aproxima de 9, o denominador
é sempre positivo (qualquer potência par é positiva) e tende a 0. O numerador
tende a 3.
Passo 15
Portanto, o limite é
.
Passo 16
Vamos resolver o quinto limite:
Trata-se de uma função contínua envolvendo seno e cosseno. Podemos substituir diretamente.
Passo 17
Substituindo
:
Passo 18
Agora, o sexto limite:
Este é um limite lateral (à direita de 4) envolvendo valor absoluto. Precisamos analisar o sinal da expressão.
Passo 19
Quando
se aproxima de 4 pela direita (
):
-
-
Portanto:
Passo 20
Vamos ao sétimo limite:
Trata-se de um limite no infinito envolvendo funções polinomiais e radicais.
Passo 21
Dividimos numerador e denominador por
:
Passo 22
Quando
tende ao infinito:
-
, então -
, então
Passo 23
Portanto:
Passo 24
Agora, o oitavo limite:
Novamente, um limite no infinito, mas agora quando
tende a menos infinito.
Passo 25
Para
negativo e grande em módulo,
(pois
é negativo):
Passo 26
Quando
tende a
:
-
, então
Passo 27
Portanto:
Passo 28
Vamos ao nono limite:
Esse limite envolve a função logaritmo e o seno. Precisamos analisar o comportamento de quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 29
Sabemos que . Para
próximo de
e menor que
:
- é positivo e se aproxima de 0.
Passo 30
O logaritmo natural de um número que se aproxima de 0 pela positiva tende a
:
Passo 31
Agora, o décimo limite:
Trata-se de um limite no infinito envolvendo radicais e termos lineares.
Passo 32
Multiplicamos e dividimos pela conjugada para simplificar:
Passo 33
Dividimos numerador e denominador por
:
Passo 34
Quando
tende a
:
Passo 35
Portanto:
Passo 36
Vamos ao décimo primeiro limite:
Aqui lidamos com polinômios e o comportamento quando
tende a
.
Passo 37
Analisamos os termos de maior grau:
-
domina quando tende a .
Passo 38
Para
negativo e grande em módulo:
-
é negativo (pois a potência é ímpar). -
tende a .
Passo 39
Portanto:
Passo 40
Agora, o décimo segundo limite:
Este limite envolve a função seno ao quadrado e um polinômio no denominador.
Passo 41
Sabemos que para todo
:
Passo 42
Quando
tende a
,
. Pelo Teorema do Encaixe:
Passo 43
Vamos ao décimo terceiro limite:
Este limite envolve radicais com termos lineares.
Passo 44
Multiplicamos e dividimos pela conjugada:
Passo 45
Dividimos numerador e denominador por
:
Passo 46
Quando
tende a
,
e
:
Passo 47
Por último, o décimo quarto limite:
Este limite envolve a análise de funções quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 48
Analisamos cada termo separadamente:
-
tende a quando -
tende a quando
Passo 49
Somando os dois termos:
Resposta
O limite é
.
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Dar um exemplo:
e
,
.
Calcule as integrail
Calcule as integrais inprópreas