Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral de uma fração envolvendo polinômios. Vamos usar frações parciais, que é uma técnica de cálculo que ajuda a simplificar integrais desse tipo. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que consigamos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
. Podemos fatorar um
de todas as partes:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
(o coeficiente de
vezes o termo constante) e que somados dão
(o coeficiente de
). Esses números são
e
:
Passo 4
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 5
Agora, vamos escrever a fração original usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados pela expressão
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Vamos achar os valores de
,
e
substituindo valores estratégicos de
.
Primeiro, substituímos
:
Passo 8
Em seguida, substituímos
:
Passo 9
Agora, substituímos
:
Calculando:
Passo 10
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a integral original como:
Passo 11
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.