Calcule as integrais: integral (10 x^2+9 x+1) d x2 x^3+3 x^2+x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral de uma fração envolvendo polinômios. Vamos usar frações parciais, que é uma técnica de cálculo que ajuda a simplificar integrais desse tipo. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples que consigamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador 2x^3 + 3x^2 + x = x(2x^2 + 3x + 1) . Podemos fatorar um de todas as partes:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático 2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão (o coeficiente de vezes o termo constante) e que somados dão (o coeficiente de ). Esses números são e :

Passo 4

Então, o denominador totalmente fatorado fica:
2x^3 + 3x^2 + x = x(2x + 1)(x + 1)

Passo 5

Agora, vamos escrever a fração original usando frações parciais. Queremos encontrar constantes 10x^2 + 9x + 1x(2x + 1)(x + 1) = Ax + B2x + 1 + Cx + 1 , e tais que:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados pela expressão 10x^2 + 9x + 1 = A(2x + 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(2x + 1) para eliminar os denominadores:

Passo 7

Vamos achar os valores de 10(0)^2 + 9(0) + 1 = A(1)(1) + 0 + 0 Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1 , e substituindo valores estratégicos de .
Primeiro, substituímos :

Passo 8

Em seguida, substituímos 10(-1)^2 + 9(-1) + 1 = A(0) + B(-1)(0) + C(-1)(-1) Rightarrow 10 - 9 + 1 = C Rightarrow C = 2 :

Passo 9

Agora, substituímos 10(-12)^2 + 9(-12) + 1 = A(0) + B(-12)(12) + C(-12)(0) :
10 times 14 - 92 + 1 = -B4 Rightarrow 52 - 92 + 1 = -B4 Rightarrow -2 + 1 = -B4 Rightarrow -1 = -B4 Rightarrow B = 4
Calculando:

Passo 10

Agora que temos integral ( 1x + 42x + 1 + 2x + 1 ) dx , e , podemos reescrever a integral original como:

Passo 11

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x dx = ln|x|
integral 42x + 1 dx = 2 ln|2x + 1|
integral 2x + 1 dx = 2 ln|x + 1|

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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