Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral de uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Esse tipo de problema envolve cálculo de integrais de funções racionais, que é um conceito de cálculo integral. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma divisão polinomial primeiro, já que o grau do numerador é maior que o do denominador, e depois simplificar a expressão para integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio
pelo
. Isso porque o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), e precisamos simplificar a fração.
Passo 3
Dividindo
por
, vemos que:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral:
A primeira integral é fácil de resolver, e para a segunda, vamos usar uma substituição.
Passo 5
Observando o denominador
, podemos fatorar:
Isso vai ajudar na simplificação das frações.
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Passo 7
Para a segunda integral
, vamos usar substituição. Seja
, então:
Passo 8
Rearranjando, temos:
Mas isso não simplifica diretamente a integral. Então, vamos reescrever o numerador
como uma combinação que envolve
:
Passo 9
Assim, a integral fica:
A primeira parte se encaixa na substituição
:
Passo 10
Agora, precisamos resolver
. Como já fatoramos o denominador, podemos usar frações parciais:
Resolvendo, encontramos
,
, e
. Então:
Resposta
Juntando tudo, a integral é: