Calcule as integrais: integral x^4+2 x^2+3x^3-4 x d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral de uma fração onde o numerador é e o denominador é . Esse tipo de problema envolve cálculo de integrais de funções racionais, que é um conceito de cálculo integral. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma divisão polinomial primeiro, já que o grau do numerador é maior que o do denominador, e depois simplificar a expressão para integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio pelo . Isso porque o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), e precisamos simplificar a fração.

Passo 3

Dividindo x^4 + 2x^2 + 3x^3 - 4x = x + 4x^2 + 3x^3 - 4x por integral x^4 + 2x^2 + 3x^3 - 4x dx = integral ( x + 4x^2 + 3x^3 - 4x ) dx , vemos que:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral:
integral x , dx + integral 4x^2 + 3x^3 - 4x , dx
A primeira integral é fácil de resolver, e para a segunda, vamos usar uma substituição.

Passo 5

Observando o denominador x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) , podemos fatorar:
Isso vai ajudar na simplificação das frações.

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral x , dx = 12x^2 + C

Passo 7

Para a segunda integral du = (3x^2 - 4) dx , vamos usar substituição. Seja , então:

Passo 8

Rearranjando, temos:
dx = du3x^2 - 4
Mas isso não simplifica diretamente a integral. Então, vamos reescrever o numerador 4x^2 + 3 = 43(3x^2) + 3 - 43(4) = 43(3x^2 - 4) + 253 como uma combinação que envolve :

Passo 9

Assim, a integral fica:
integral 4x^2 + 3x^3 - 4x dx = 43 integral 3x^2 - 4x^3 - 4x dx + 253 integral 1x^3 - 4x dx
A primeira parte se encaixa na substituição 43 integral duu = 43 ln|u| + C = 43 ln|x^3 - 4x| + C :

Passo 10

Agora, precisamos resolver 1x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2 . Como já fatoramos o denominador, podemos usar frações parciais:
integral 1x(x - 2)(x + 2) dx = 14 ln|x| + 18 ln|x - 2| - 18 ln|x + 2| + C
Resolvendo, encontramos , , e . Então:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
12x^2 + 43 ln|x^3 - 4x| + 2512 ln|x| + 2524 ln|x - 2| - 2524 ln|x + 2| + C

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