Calcule as integrais: integral x^3+x^2+3 x+16x^3+4 x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são polinômios de grau 3), a gente pode fazer uma divisão polinomial. Isso vai nos ajudar a quebrar a fração em partes mais fáceis de integrar.

Passo 3

Vamos dividir (x^3+x^2+3x+16) - (x^3+4x) = x^2 - x +16 por x^3+x^2+3x+16x^3+4x = 1 + x^2-x+16x^3+4x . O primeiro termo é . Multiplicando o denominador por 1, temos . Subtraindo isso do numerador:
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na integral da parte que sobrou:
integral x^2-x+16x^3+4x , dx
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Podemos tirar um x^3 +4x = x(x^2 +4) em evidência:
integral x^2-x+16x(x^2+4) , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos escrever:
x^2-x+16x(x^2+4) = Ax + Bx + Cx^2+4
Multiplicando ambos os lados por x^2-x+16 = A(x^2+4) + (Bx + C)x , temos:

Passo 6

Expandindo o lado direito:
x^2-x+16 = A x^2 +4A +Bx^2 +Cx
Agrupando os termos semelhantes:
x^2-x+16 = (A + B)x^2 + Cx +4A
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, temos os valores de A = 4, B = -3, C = -1 , x^2-x+16x(x^2+4) = 4x + -3x -1x^2+4 e :
Então, a fração parcial fica:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original dividida:
integral x^3+x^2+3x+16x^3+4x , dx = integral 1 , dx + integral ( 4x + -3x -1x^2+4 ) , dx
Que pode ser separada em:
x + 4integral 1x , dx -3integral xx^2+4 , dx - integral 1x^2+4 , dx

Passo 9

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. : faz a substituição , então , e a integral vira

Passo 10

Agora, substituímos essas integrais de volta:
x + 4 ln|x| - 32 ln(x^2+4) - 12 tan^-1(x2) + C

Resposta

A integral x + 4 ln|x| - 32 ln(x^2+4) - 12 tan^-1(x2) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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