Calcule as integrais:
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são polinômios de grau 3), a gente pode fazer uma divisão polinomial. Isso vai nos ajudar a quebrar a fração em partes mais fáceis de integrar.
Passo 3
Vamos dividir
por
. O primeiro termo é
. Multiplicando o denominador por 1, temos
. Subtraindo isso do numerador:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na integral da parte que sobrou:
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Podemos tirar um
em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 6
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
→
Substituindo
na primeira equação:
→
Passo 7
Agora, temos os valores de
,
e
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 8
Agora, voltamos à integral original dividida:
Que pode ser separada em:
Passo 9
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
-
-
: faz a substituição , então , e a integral vira -
Passo 10
Agora, substituímos essas integrais de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.