Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas e substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
.
Sabemos que
pode ser escrita como
. E lembrando da identidade trigonométrica
, temos:
Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então a derivada de
em relação a
é
. Substituindo na integral:
Passo 5
Resolvendo essa integral simples:
Substituindo
de volta:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Primeiro, reescrevemos
como
:
Passo 7
Vamos novamente usar a substituição. Seja
, então
. Observe que temos
. E
pode ser escrita como
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, expandimos e integramos termo a termo:
Integrando cada parte:
Substituindo
de volta:
Resposta
Somando as duas integrais resolvidas, temos:
Onde
é a constante de integração.