Calcule as integrais:
integral(1+raiz[3]sen(x)) cos ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas e substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral(1+raiz[3]sin(x)) cos^3(x) , dx = integral cos^3(x) , dx + integral raiz[3]sin(x) cos^3(x) , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: cos^3(x) = cos(x) (1 - sin^2(x)) .
Sabemos que integral cos(x) (1 - sin^2(x)) , dx pode ser escrita como . E lembrando da identidade trigonométrica , temos:
Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja integral (1 - u^2) , du , então a derivada de em relação a é . Substituindo na integral:

Passo 5

Resolvendo essa integral simples:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Substituindo sin(x) - sin^3(x)3 + C de volta:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral sin^1/3(x) cos^3(x) , dx .
Primeiro, reescrevemos como :

Passo 7

Vamos novamente usar a substituição. Seja integral u^1/3 (1 - u^2) cos(x) , dx = integral u^1/3 (1 - u^2) , du , então . Observe que temos . E pode ser escrita como .
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, expandimos e integramos termo a termo:
integral u^1/3 , du - integral u^7/3 , du
Integrando cada parte:
u^4/34/3 - u^10/310/3 + C = 34 u^4/3 - 310 u^10/3 + C
Substituindo 34 sin^4/3(x) - 310 sin^10/3(x) + C de volta:

Resposta

Somando as duas integrais resolvidas, temos:
integral(1+raiz[3]sin(x)) cos^3(x) , dx = sin(x) - sin^3(x)3 + 34 sin^4/3(x) - 310 sin^10/3(x) + C
Onde é a constante de integração.

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