Usando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de:
sumk=1^infty k!2^kk^k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver aqui. A questão pede pra gente usar o critério da razão para determinar se a série
sumk=1^infty k! cdot 2^kk^k
converge ou diverge. O critério da razão é uma técnica que nos ajuda a ver se uma série infinita soma a um valor finito ou não, comparando o termo geral com o próximo termo da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério da razão. Ele funciona assim: pegamos o limite quando L = limk to infty | ak+1ak | vai para o infinito da razão entre o termo e . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Matematicamente, fica:

Passo 3

Vamos identificar o termo geral ak = k! cdot 2^kk^k da nossa série:
ak+1 = (k+1)! cdot 2^k+1(k+1)^k+1
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Vamos montar a razão ak+1ak = (k+1)! cdot 2^k+1(k+1)^k+1 cdot k^kk! cdot 2^k = (k+1) cdot 2(k+1)^k+1 cdot k^k :
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão k^k(k+1)^k = ( kk+1 )^k = ( 1 - 1k+1 )^k :
limk to infty (1 - 1k+1)^k = 1e
Sabemos que:
onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite L = limk to infty 2 cdot (1 - 1k+1)^k = 2 cdot 1e = 2e :
2e approx 22,718 approx 0,736
Sabemos que é aproximadamente 2,718, então:

Resposta

Como sumk=1^infty k! cdot 2^kk^k , pela razão, a série
converge.

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