Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série alternada
converge, usando o Critério da Série Alternada. Para isso, vamos precisar entender esse critério e verificar duas coisas: se os termos da série estão diminuindo e se eles tendem a zero quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série é alternada porque tem o
, que muda o sinal dos termos conforme
aumenta. Vamos chamar a parte sem o
de
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
está diminuindo conforme
aumenta. Para isso, podemos comparar
e
:
Observando que o denominador cresce mais rápido que o numerador conforme
aumenta, fica claro que
. Portanto,
é uma sequência decrescente.
Passo 4
O segundo passo do critério é verificar se o limite de
quando
tende ao infinito é zero:
Como o denominador cresce sem limites e o numerador cresce mais devagar, o limite é de fato zero.
Resposta
Como os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero, pela Condição do Critério da Série Alternada, a série
converge.