Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
sumk=2^infty (-1)^k k^3k^4+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série alternada converge, usando o Critério da Série Alternada. Para isso, vamos precisar entender esse critério e verificar duas coisas: se os termos da série estão diminuindo e se eles tendem a zero quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série é alternada porque tem o ak = k^3k^4 + 3 , que muda o sinal dos termos conforme aumenta. Vamos chamar a parte sem o de :

Passo 3

Agora, vamos verificar se ak+1 = (k+1)^3(k+1)^4 + 3 está diminuindo conforme aumenta. Para isso, podemos comparar e :
Observando que o denominador cresce mais rápido que o numerador conforme aumenta, fica claro que . Portanto, é uma sequência decrescente.

Passo 4

O segundo passo do critério é verificar se o limite de limk to infty k^3k^4 + 3 = limk to infty 1k + 3k^3 = 0 quando tende ao infinito é zero:
Como o denominador cresce sem limites e o numerador cresce mais devagar, o limite é de fato zero.

Resposta

Como os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, pela Condição do Critério da Série Alternada, a série converge.

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