Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
sumk=2^infty 1raizk ln k

Passo 1

Então, temos o exercício de mostrar que a série sumk=2^infty 1raizk ln k diverge usando o critério da comparação. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e o critério da comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o critério da comparação. Esse critério nos diz que se tivermos duas séries sum ak e sum bk com 0 <= ak <= bk para todo k a partir de algum índice, então:
  • Se sum bk converge, então sum ak também converge.
  • Se sum ak diverge, então sum bk também diverge.

Passo 3

Vamos escolher uma série com a qual possamos comparar a nossa série original. Observando 1raizk ln k, vemos que o denominador cresce mais devagar que qualquer potência de k com expoente maior que 1/2. Então, vamos comparar com a série sum 1raizk, que sabemos que é uma série p com p = 12.

Passo 4

A série sum 1raizk é uma série p onde p = 12. Sabemos que uma série p converge se e somente se p > 1. Como 12 < 1, essa série diverge.

Passo 5

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Temos que:
1raizk ln k >= 1raizk cdot C
onde C é uma constante positiva para k >= 2 (já que ln k aumenta com k). Assim, podemos dizer que:
1raizk ln k >= 1C raizk

Passo 6

Como a série sum 1raizk diverge e 1raizk ln k é maior ou igual a uma constante vezes 1raizk, pelo critério da comparação, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série sumk=2^infty 1raizk ln k diverge.

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