Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
Passo 1
Então, temos o exercício de mostrar que a série
diverge usando o critério da comparação. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e o critério da comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o critério da comparação. Esse critério nos diz que se tivermos duas séries
e
com
para todo
a partir de algum índice, então:
- Se
converge, então também converge. - Se
diverge, então também diverge.
Passo 3
Vamos escolher uma série com a qual possamos comparar a nossa série original. Observando
, vemos que o denominador cresce mais devagar que qualquer potência de
com expoente maior que
. Então, vamos comparar com a série
, que sabemos que é uma série p com
.
Passo 4
A série
é uma série p onde
. Sabemos que uma série p converge se e somente se
. Como
, essa série diverge.
Passo 5
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Temos que:
onde
é uma constante positiva para
(já que
aumenta com
). Assim, podemos dizer que:
Passo 6
Como a série
diverge e
é maior ou igual a uma constante vezes
, pelo critério da comparação, concluímos que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.