Calcule as integrais:
integral tg^2(alpha x) cos (alpha x) d x

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular a integral integral tan^2(alpha x) cos (alpha x) , dx. Vamos usar conhecimentos de trigonometria e técnicas de integração, como substituição, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1. Isso vai ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Aplicando a identidade na integral, temos:
integral tan^2(alpha x) cos (alpha x) , dx = integral [sec^2(alpha x) - 1] cos (alpha x) , dx

Passo 4

Agora, distribuímos o cos (alpha x) dentro dos colchetes:
integral [sec^2(alpha x) cos (alpha x) - cos (alpha x)] , dx

Passo 5

Sabemos que sec(alpha x) = 1cos(alpha x), então simplificando:
integral [1cos^2(alpha x) cdot cos (alpha x) - cos (alpha x)] , dx = integral [1cos(alpha x) - cos (alpha x)] , dx

Passo 6

Então, a integral fica:
integral sec(alpha x) , dx - integral cos(alpha x) , dx
Agora vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

A integral de sec(alpha x) é:
integral sec(alpha x) , dx = 1alpha ln |sec(alpha x) + tan(alpha x)| + C
E a integral de cos(alpha x) é:
integral cos(alpha x) , dx = 1alpha sin(alpha x) + C

Resposta

Portanto, a integral completa é:
integral tan^2(alpha x) cos (alpha x) , dx = 1alpha ln |sec(alpha x) + tan(alpha x)| - 1alpha sin(alpha x) + C
Onde C é a constante de integração.

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