Calcule as integrais. integral 1x^2+4 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral racional, que envolve polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 4x = x(x + 4) . Isso facilita a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, expressamos a fração original como uma soma de duas frações menores:
1x(x + 4) = Ax + Bx + 4
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x + 4) + Bx para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, escolhemos valores para 1 = A(0 + 4) + B(0) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14 que simplifiquem a equação e nos permitam encontrar 1 = A(-4 + 4) + B(-4) Rightarrow 1 = 0 + (-4)B Rightarrow B = -14 e .
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Agora que temos 1x(x + 4) = 1/4x - 1/4x + 4 e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^2+4x , dx = 14 integral 1x , dx - 14 integral 1x + 4 , dx

Passo 8

As integrais de 14 ln|x| - 14 ln|x + 4| + C e são logaritmos naturais:

Resposta

integral 1x^2+4x , dx = 14 ln|x| - 14 ln|x + 4| + C

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