Calcule as integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral racional, que envolve polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso facilita a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, expressamos a fração original como uma soma de duas frações menores:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, escolhemos valores para que simplifiquem a equação e nos permitam encontrar e .
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

As integrais de e são logaritmos naturais:

Resposta

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Para cada função e intervalo indicado, calcule .
.
Calcule as integrais.
Calcule os limites: .
Calcule os limites: .