Calcule as integrais. integral0^2(x+3) e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir essa integral em duas partes mais simples. Podemos separar integral0^2 (x + 3) e^x dx = integral0^2 x e^x dx + integral0^2 3 e^x dx em e . Assim, a integral fica:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C
Escolhemos:
  • (então, )
  • (então, )
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral 3 e^x dx = 3 integral e^x dx = 3 e^x + C . Essa é mais direta:

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrais que resolvemos:
integral0^2 (x + 3) e^x dx = [ e^x(x - 1) ]0^2 + [ 3 e^x ]0^2
Calculando cada parte no intervalo de 0 a 2:
Para e^2(2 - 1) - e^0(0 - 1) = e^2(1) - (1)(-1) = e^2 + 1 :
3 e^2 - 3 e^0 = 3 e^2 - 3(1) = 3 e^2 - 3
Para (e^2 + 1) + (3 e^2 - 3) = 4 e^2 - 2 :
Somando as duas partes:

Resposta

A integral é igual a .

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