Calcule os limites: lim x infty e^xln x^n, n in N.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: calcular o limite , onde é um número natural. Aqui, estamos lidando com limites no cálculo diferencial, especificamente com funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Sabemos que ln x^n = n cdot ln x pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos:
lim x infty e^xn cdot ln x
Então, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das funções e à medida que cresce indefinidamente. A função exponencial cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que a função logarítmica .

Passo 4

Para entender melhor, podemos comparar as taxas de crescimento. Enquanto cresce de forma exponencial, tende ao infinito de maneira muito mais lenta. Isso significa que, para valores muito grandes de , o numerador será muito maior do que o denominador .

Passo 5

Como o numerador cresce muito mais rapidamente que o denominador, o valor da fração tende ao infinito quando tende ao infinito.

Resposta

lim x infty e^xln x^n = infty

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