Calcule os limites:
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: calcular o limite
, onde
é um número natural. Aqui, estamos lidando com limites no cálculo diferencial, especificamente com funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Sabemos que
pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos:
Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento das funções
e
à medida que
cresce indefinidamente. A função exponencial
cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que a função logarítmica
.
Passo 4
Para entender melhor, podemos comparar as taxas de crescimento. Enquanto
cresce de forma exponencial,
tende ao infinito de maneira muito mais lenta. Isso significa que, para valores muito grandes de
, o numerador
será muito maior do que o denominador
.
Passo 5
Como o numerador cresce muito mais rapidamente que o denominador, o valor da fração
tende ao infinito quando
tende ao infinito.
Resposta
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Calcule as integrais.
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