Calcule as integrais

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Essa técnica nos ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

O próximo passo é expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos distribuir e simplificar a equação:
Reagrupando os termos semelhantes, temos:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituímos na terceira equação:
  3. Da segunda equação:
Substituindo na equação anterior:
Agora, encontramos :
E :

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
    Aqui, usamos a fórmula básica .
  2. Integral de :
    Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
    • Substituição:
    Assim, a integral fica:
  3. Integral de :
    Sabemos que:
    Aqui, , então:
    Portanto,

Resposta

Juntando todas as integrais calculadas, obtemos:
Onde é a constante de integração.

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Determine