Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Essa técnica nos ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
O próximo passo é expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Passo 4
Agora, vamos distribuir e simplificar a equação:
Reagrupando os termos semelhantes, temos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituímos na terceira equação:
Da segunda equação:
Substituindo na equação anterior:
Agora, encontramos :
E :
Passo 7
Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integral de :
Aqui, usamos a fórmula básica .
Integral de :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: