Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Essa técnica nos ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
O próximo passo é expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Passo 4
Agora, vamos distribuir e simplificar a equação:
Reagrupando os termos semelhantes, temos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação: 4(2 - B) + C = 20 Rightarrow 8 - 4B + C = 20 Rightarrow -4B + C = 12
Substituímos -4B + (8 - B) = 12 Rightarrow -5B + 8 = 12 Rightarrow -5B = 4 Rightarrow B = -45 na terceira equação:
C = 8 - (-45) = 8 + 45 = 445
Da segunda equação: A = 2 - (-45) = 2 + 45 = 145
Substituindo na equação anterior:
Agora, encontramos :
E :
Passo 7
Agora que temos os valores de 2x^2 + 8x + 20(x + 1)(x^2 + 4) = 145x + 1 + -45x + 445x^2 + 4, 145 cdot 1x + 1 - 45 cdot xx^2 + 4 + 445 cdot 1x^2 + 4 e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integral de integral 145 cdot 1x + 1 , dx = 145 ln|x + 1| + C1:
-45 cdot 12 integral 1u , du = -25 ln|u| + C2 = -25 ln|x^2 + 4| + C2
Aqui, usamos a fórmula básica integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C.
Integral de integral 1x^2 + 4 , dx = 12 tan^-1(x2) + C3:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: