Calcule as integrais integral (2 x^2+8 x+20) d x(x+1)(x^2+4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
integral 2x^2 + 8x + 20(x + 1)(x^2 + 4) , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Essa técnica nos ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

O próximo passo é expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
2x^2 + 8x + 20(x + 1)(x^2 + 4) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 2x^2 + 8x + 20 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x + 1), e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos distribuir e simplificar a equação:
2x^2 + 8x + 20 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Reagrupando os termos semelhantes, temos:
2x^2 + 8x + 20 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (4A + C)

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de A + B = 2 (coeficiente de x^2) B + C = 8 (coeficiente de x) 4A + C = 20 (termo constante) , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 4(2 - B) + C = 20 Rightarrow 8 - 4B + C = 20 Rightarrow -4B + C = 12
  2. Substituímos -4B + (8 - B) = 12 Rightarrow -5B + 8 = 12 Rightarrow -5B = 4 Rightarrow B = -45 na terceira equação:
    C = 8 - (-45) = 8 + 45 = 445
  3. Da segunda equação: A = 2 - (-45) = 2 + 45 = 145
Substituindo na equação anterior:
Agora, encontramos :
E :

Passo 7

Agora que temos os valores de 2x^2 + 8x + 20(x + 1)(x^2 + 4) = 145x + 1 + -45x + 445x^2 + 4, 145 cdot 1x + 1 - 45 cdot xx^2 + 4 + 445 cdot 1x^2 + 4 e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de integral 145 cdot 1x + 1 , dx = 145 ln|x + 1| + C1:
    -45 cdot 12 integral 1u , du = -25 ln|u| + C2 = -25 ln|x^2 + 4| + C2
    Aqui, usamos a fórmula básica integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C.
  2. Integral de integral 1x^2 + 4 , dx = 12 tan^-1(x2) + C3:
    Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
    • Substituição: 445 cdot 12 tan^-1(x2) = 225 tan^-1(x2) + C3
    Assim, a integral fica:
  3. Integral de :
    Sabemos que:
    Aqui, , então:
    Portanto,

Resposta

Juntando todas as integrais calculadas, obtemos:
145 ln|x + 1| - 25 ln|x^2 + 4| + 225 tan^-1(x2) + C
Onde é a constante de integração.

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