Calcule as integrais integral d xx^3-x^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dxx^3-x^2-2x. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais para decompor a expressão. Vamos precisar fatorar o denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3-x^2-2x. Podemos colocar um x em evidência:
x^3-x^2-2x = x(x^2 - x - 2)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 - x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, o denominador fatorado fica:
x^3-x^2-2x = x(x - 2)(x + 1)

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como soma de frações parciais:
1x(x - 2)(x + 1) = Ax + Bx - 2 + Cx + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x - 2)(x + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores específicos de x que simplificam a equação.
Para x = 0:
1 = A(-2)(1) + B(0)(1) + C(0)(-2) 1 = -2A A = -12
Para x = 2:
1 = A(0)(3) + B(2)(3) + C(2)(0) 1 = 6B B = 16
Para x = -1:
1 = A(-3)(0) + B(-1)(0) + C(-1)(-3) 1 = 3C C = 13

Passo 5

Agora que encontramos A, B e C, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
1x(x - 2)(x + 1) = -12 cdot 1x + 16 cdot 1x - 2 + 13 cdot 1x + 1

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx^3-x^2-2x = integral ( -12x + 16(x - 2) + 13(x + 1) ) dx
Integrando termo a termo:
= -12 ln|x| + 16 ln|x - 2| + 13 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a -12ln|x| + 16ln|x-2| + 13ln|x+1| + C, onde C é a constante de integração.

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