Calcule as integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais para decompor a expressão. Vamos precisar fatorar o denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar um em evidência:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de , e substituindo valores específicos de que simplificam a equação.
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora que encontramos , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Determine
Determine A área delimitada entre as curvas de e