Calcule as integrais integral 2 x^2-x+2(x+1)(x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos a integral de em relação a . Isso está relacionado ao conteúdo de frações parciais, que a gente usa quando queremos integrar uma fração onde o denominador pode ser fatorado em polinômios de primeiro ou segundo grau. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 2x^2 - x + 2(x + 1)(x^2 + 4) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 4 como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear e um fator quadrático , assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por 2x^2 - x + 2 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x + 1) :
2x^2 - x + 2 = A x^2 + 4A + B x^2 + B x + C x + C
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
2x^2 - x + 2 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (4A + C)

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver:
  • Da equação 1:
  • Substituindo na equação 3:
  • Substituindo na equação 2:
  • Então, e

Passo 5

Agora que encontramos 2x^2 - x + 2(x + 1)(x^2 + 4) = 1x + 1 + x - 2x^2 + 4 , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 6

Vamos integrar cada parte separadamente:
  1. : Isso é uma integral básica que resulta em .
  2. : Aqui fazemos uma substituição simples. Deixe , então , ou seja, . Isso resulta em .
  3. : Essa é uma integral que envolve a função arco-tangente. Sabemos que . Aqui, , então a integral fica .

Passo 7

Juntando todas as integrais, temos:
integral 2x^2 - x + 2(x + 1)(x^2 + 4) dx = ln|x + 1| + 12 ln|x^2 + 4| - tan^-1(x2) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
ln|x + 1| + 12 ln(x^2 + 4) - tan^-1(x2) + C

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