Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos a integral de
em relação a
. Isso está relacionado ao conteúdo de frações parciais, que a gente usa quando queremos integrar uma fração onde o denominador pode ser fatorado em polinômios de primeiro ou segundo grau. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear
e um fator quadrático
, assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver:
- Da equação 1:
- Substituindo
na equação 3: - Substituindo
na equação 2: - Então,
e
Passo 5
Agora que encontramos
,
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 6
Vamos integrar cada parte separadamente:
-
: Isso é uma integral básica que resulta em . -
: Aqui fazemos uma substituição simples. Deixe , então , ou seja, . Isso resulta em . -
: Essa é uma integral que envolve a função arco-tangente. Sabemos que . Aqui, , então a integral fica .
Passo 7
Juntando todas as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a: