Determine
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Neste exercício, trabalharemos com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que têm a forma
, que é uma indeterminação comum em limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
se aproxima de
pelo lado positivo. Quando
:
-
-
porque para valores pequenos de , então .
Isso nos mostra que estamos lidando com uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Para resolver limites que resultam em
, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
. Sabemos que para
próximo de
:
-
-
(usando a série de Taylor para )
Então, substituindo estas aproximações:
Portanto,
Passo 5
Agora, para encontrar
, basta resolver a equação:
Resposta
O limite
é igual a
.
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