Determine

Passo 1

Vamos resolver o limite . Neste exercício, trabalharemos com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que têm a forma , que é uma indeterminação comum em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de pelo lado positivo. Quando :
  • porque para valores pequenos de , então .
Isso nos mostra que estamos lidando com uma indeterminação do tipo .

Passo 3

Para resolver limites que resultam em , uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o limite de quando . Sabemos que para próximo de :
  • (usando a série de Taylor para )
Então, substituindo estas aproximações:
Portanto,

Passo 5

Agora, para encontrar , basta resolver a equação:

Resposta

O limite é igual a .

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