Determine lim x 0^+(x+1)^cotg(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+(x+1)^cotg(x). Neste exercício, trabalharemos com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que têm a forma 1^infty, que é uma indeterminação comum em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo. Quando x 0^+:
  • (x + 1) 1
  • cotg(x) = cos(x)sin(x) +infty porque sin(x) approx x para valores pequenos de x, então cotg(x) approx 1x.
Isso nos mostra que estamos lidando com uma indeterminação do tipo 1^infty.

Passo 3

Para resolver limites que resultam em 1^infty, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de L:
L = limx 0^+(x+1)^cotg(x)
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = limx 0^+ cotg(x) cdot ln(x+1)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o limite de cotg(x) cdot ln(x+1) quando x 0^+. Sabemos que para x próximo de 0:
  • cotg(x) approx 1x
  • ln(x + 1) approx x (usando a série de Taylor para ln(1 + x))
Então, substituindo estas aproximações:
cotg(x) cdot ln(x+1) approx 1x cdot x = 1
Portanto,
ln(L) = 1

Passo 5

Agora, para encontrar L, basta resolver a equação:
ln(L) = 1 implies L = e^1 = e

Resposta

O limite lim x 0^+(x+1)^cotg(x) é igual a e.

Exercícios relacionados