Calcule as integrais
integral x^2-x-2x^3-x^2+x-1 d x integral ln (5 x^2+5) d x integral sen(4 raizx+1)raizx d x

Passo 1

Oi! Então, a gente tem três integrais pra resolver aqui. Vamos trabalhar com técnicas de cálculo integral como frações parciais, integração por partes e substituição. Vou te guiar passo a passo para que fique bem claro como resolver cada uma delas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral x^2-x-2x^3-x^2+x-1 , dx
Primeiro, precisamos simplificar essa fração. Observamos que o grau do numerador (2) é menor que o denominador (3), então podemos tentar fatorar o denominador para dividir a fração em partes mais simples.
Fatorando o denominador:
O denominador é 1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 . Vamos tentar encontrar raízes desse polinômio. Testando x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 0x + 1) = (x - 1)(x^2 + 1) :
integral x^2-x-2(x - 1)(x^2 + 1) , dx
Então, x^2-x-2(x - 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 1 é uma raiz. Agora, fazemos a divisão do denominador por x^2 - x - 2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1) :
x^2 - x - 2 = A x^2 + A + B x^2 - Bx + Cx - C
Agora, podemos escrever a integral como:
x^2 - x - 2 = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (A - C)
Usando Frações Parciais:
Vamos expressar a fração como soma de frações mais simples:
2C = 2 Rightarrow C = 1
Multiplicando ambos os lados por B + 1 = 3 Rightarrow B = 2 :
A = 1 - 2 = -1
Expandindo e agrupando os termos:
integral -1x - 1 , dx + integral 2x + 1x^2 + 1 , dx
-ln|x - 1| + ln(x^2 + 1) + tan^-1(x) + C
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
Resolvendo o sistema:
  • Da equação 1:
  • Substituindo na equação 3:
  • Da equação 2:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :
E de :
Substituindo na integral:
Integrando cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
integral ln(5x^2 + 5) , dx
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • integral ln(5x^2 + 5) , dx = x ln(5x^2 + 5) - integral x cdot 2xx^2 + 1 , dx
  • integral 2x^2x^2 + 1 , dx
Calculando 2x^2x^2 + 1 = 2 - 2x^2 + 1 e integral 2x^2x^2 + 1 , dx = integral 2 , dx - integral 2x^2 + 1 , dx = 2x - 2tan^-1(x) + C :
  • x ln(5x^2 + 5) - (2x - 2tan^-1(x)) + C = x ln(5x^2 + 5) - 2x + 2tan^-1(x) + C
Aplicando integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Podemos separar a fração:
Então:
Voltando à expressão original:

Passo 4

Finalmente, a terceira integral:
integral sin(4 raizx + 1)raizx , dx
Vamos usar a substituição para facilitar. Definimos:
  • integral sin(4u + 1)u cdot 2u , du = 2 integral sin(4u + 1) , du
  • Então, 2 integral sin(4u + 1) , du = 2 cdot ( -cos(4u + 1)4 ) + C = -cos(4u + 1)2 + C
  • Derivando ambos os lados: -cos(4raizx + 1)2 + C
Mas uma forma mais simples é fazer , então e .
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :

Resposta

As integrais são:
integral x^2-x-2x^3-x^2+x-1 , dx = -ln|x - 1| + ln(x^2 + 1) + tan^-1(x) + C
integral ln(5x^2 + 5) , dx = x ln(5x^2 + 5) - 2x + 2tan^-1(x) + C
integral sin(4 raizx + 1)raizx , dx = -cos(4raizx + 1)2 + C

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