Calcule as integrais
Passo 1
Oi! Então, a gente tem três integrais pra resolver aqui. Vamos trabalhar com técnicas de cálculo integral como frações parciais, integração por partes e substituição. Vou te guiar passo a passo para que fique bem claro como resolver cada uma delas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Primeiro, precisamos simplificar essa fração. Observamos que o grau do numerador (2) é menor que o denominador (3), então podemos tentar fatorar o denominador para dividir a fração em partes mais simples.
Fatorando o denominador:
O denominador é
. Vamos tentar encontrar raízes desse polinômio. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, fazemos a divisão do denominador por
:
Agora, podemos escrever a integral como:
Usando Frações Parciais:
Vamos expressar a fração como soma de frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Resolvendo o sistema:
- Da equação 1:
- Substituindo na equação 3:
→ → - Da equação 2:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação
:
E de
:
Substituindo na integral:
Integrando cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
Escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Podemos separar a fração:
Então:
Voltando à expressão original:
Passo 4
Finalmente, a terceira integral:
Vamos usar a substituição para facilitar. Definimos:
-
- Então,
- Derivando ambos os lados:
→
Mas uma forma mais simples é fazer
, então
e
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Resposta
As integrais são: