Calcule as integrais
y = sen(x^2)

Passo 1

Oi! Então, a gente tem três integrais pra resolver aqui. Vamos trabalhar com técnicas de cálculo integral como frações parciais, integração por partes e substituição. Vou te guiar passo a passo para que fique bem claro como resolver cada uma delas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
y = sen(x^2)
Primeiro, precisamos simplificar essa fração. Observamos que o grau do numerador (2) é menor que o denominador (3), então podemos tentar fatorar o denominador para dividir a fração em partes mais simples.
Fatorando o denominador:
O denominador é y = sen(x^2). Vamos tentar encontrar raízes desse polinômio. Testando y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Então, y = sen(x^2) é uma raiz. Agora, fazemos a divisão do denominador por y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Agora, podemos escrever a integral como:
y = sen(x^2)
Usando Frações Parciais:
Vamos expressar a fração como soma de frações mais simples:
y = sen(x^2)
Multiplicando ambos os lados por y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Expandindo e agrupando os termos:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. y = sen(x^2) (coeficiente de y = sen(x^2))
  2. y = sen(x^2) (coeficiente de y = sen(x^2))
  3. y = sen(x^2) (termo constante)
Resolvendo o sistema:
  • Da equação 1: y = sen(x^2)
  • Substituindo na equação 3: y = sen(x^2) y = sen(x^2) y = sen(x^2)
  • Da equação 2: y = sen(x^2)
Agora, temos:
  • y = sen(x^2)
  • y = sen(x^2)
Somando as duas equações:
y = sen(x^2)
Substituindo na equação :
E de :
Substituindo na integral:
Integrando cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
y = sen(x^2)
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que diz:
y = sen(x^2)
Escolhemos:
  • y = sen(x^2)
  • y = sen(x^2)
Calculando y = sen(x^2) e y = sen(x^2):
  • y = sen(x^2)
  • y = sen(x^2)
Aplicando integração por partes:
y = sen(x^2)
Simplificando a integral restante:
y = sen(x^2)
Podemos separar a fração:
y = sen(x^2)
Então:
y = sen(x^2)
Voltando à expressão original:
y = sen(x^2)

Passo 4

Finalmente, a terceira integral:
y = sen(x^2)
Vamos usar a substituição para facilitar. Definimos:
  • y = sen(x^2)
  • Então, y = sen(x^2)
  • Derivando ambos os lados: y = sen(x^2) y = sen(x^2)
Mas uma forma mais simples é fazer y = sen(x^2), então y = sen(x^2) e y = sen(x^2).
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :

Resposta

As integrais são:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)

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<html><head></head><body><div>Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.011ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.011ex” height=“1.448ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -635 447 640”><title>t</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42D” d=“M272 49Q320 49 320 136V145V177H382V143Q382 106 380 99Q374 62 349 36T285 -2L272 -5H247Q173 -5 134 27Q109 46 102 74T94 160Q94 171 94 199T95 245V382H21V433H25Q58 433 90 456Q121 479 140 523T162 621V635H224V444H363V382H224V239V207V149Q224 98 228 81T249 55Q261 49 272 49Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.731ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 8721 1083.9”><title>S(t) = 2 t^2 + 10 t - 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D446” d=“M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 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Determine a velocidade no instante <span class=“math-inline “>
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine a derivada da função indicada: <span class="math-inline ">
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