Determine a derivada da função
g(x)=integral1^x^3(1+t^2)^5 d t

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos encontrar a derivada da função
g(x) = integral1^x^3 (1 + t^2)^5 dt
Isso envolve cálculo diferencial e integral, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar uma integral definida onde o limite superior é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de G(x) = integrala^u(x) f(t) dt , ou seja:
G'(x) = f(u(x)) cdot u'(x)
então a derivada de em relação a é:
Isso significa que para derivar , avaliamos a função no limite superior e multiplicamos pela derivada de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
g(x) = integral1^x^3 (1 + t^2)^5 dt
Aqui, e . O limite inferior é uma constante (1), então sua derivada será zero e não afetará o resultado.

Passo 4

Segundo o Teorema Fundamental do C��lculo, a derivada de g'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) = (1 + (x^3)^2)^5 cdot ddx(x^3) será:
ddx(x^3) = 3x^2
Calculando a derivada de :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de g'(x) = (1 + x^6)^5 cdot 3x^2 :
g'(x) = 3x^2 (1 + x^6)^5
Podemos reescrever isso para ficar mais claro:

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = 3x^2 (1 + x^6)^5

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