Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Resumo do problema: Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções logarítmicas e potências de
. Para resolver, vamos utilizar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Reescrevendo a integral: Vamos começar reescrevendo a integral de uma forma que facilite a aplicação da integração por partes.
Passo 3
Aplicando a integração por partes: A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Passo 5
Simplificando a segunda integral:
Calculando essa integral:
Passo 6
Voltando à expressão original:
Calculando os limites:
- Para
:
- Para
, analisamos o comportamento de quando . Sabemos que tende a e tende a 0. O produto desses termos tende a 0.
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.