Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral0^1 ln (x)x^23 d x

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções logarítmicas e potências de . Para resolver, vamos utilizar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Reescrevendo a integral: Vamos começar reescrevendo a integral de uma forma que facilite a aplicação da integração por partes.
integral0^1 ln(x)x^2/3 , dx = integral0^1 ln(x) cdot x^-2/3 , dx

Passo 3

Aplicando a integração por partes: A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
integral0^1 ln(x) cdot x^-2/3 , dx = [ ln(x) cdot 3x^1/3 ]0^1 - integral0^1 3x^1/3 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral0^1 3x^1/3 cdot 1x , dx = 3 integral0^1 x^1/3 - 1 , dx = 3 integral0^1 x^-2/3 , dx
Calculando essa integral:
3 integral0^1 x^-2/3 , dx = 3 [ x^1 - 2/31 - 2/3 ]0^1 = 3 [ x^1/31/3 ]0^1 = 9 [ x^1/3 ]0^1 = 9 (1 - 0) = 9

Passo 6

Voltando à expressão original:
[ ln(x) cdot 3x^1/3 ]0^1 - 9
Calculando os limites:
  • Para ln(1) cdot 3 cdot 1^1/3 = 0 cdot 3 cdot 1 = 0 :
0 - 0 - 9 = -9
  • Para , analisamos o comportamento de quando . Sabemos que tende a e tende a 0. O produto desses termos tende a 0.
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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