Calcule as integrais: integral arcsin (raizx1+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente uma integral que envolve a função arco seno e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes e fazer algumas substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos usar na integração por partes. Lembrando que a fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
  • (a parte que vai ser derivada)
  • (a parte que vai ser integrada)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dv = dx implies v = integral dx = x e dudx = 1raiz1 - t^2 cdot dtdx :
  1. Calcular t = raizx1+x implies t^2 = x1+x :
    2t dtdx = (1+x) cdot 1 - x cdot 1(1+x)^2 = 1(1+x)^2
  2. Calcular dtdx = 12t(1+x)^2 = 12 raizx1+x (1+x)^2 = raiz1+x2 raizx (1+x)^2 = 12 raizx(1+x)^3/2 :
    Para achar dudx = 1raiz1 - x1+x cdot 12 raizx(1+x)^3/2 = 1raiz1+x - x1+x cdot 12 raizx(1+x)^3/2 = raiz1+xraiz1 cdot 12 raizx(1+x)^3/2 = 12 raizx(1+x) , precisamos derivar du = 12 raizx(1+x) , dx em relação a .
    Seja . Vamos chamar , então .
    A derivada de é:
    Agora, derivamos :
    Diferenciando ambos os lados:
    Então:
    Portanto:
    Então:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arcsin (raizx1+x) , dx = x cdot arcsin (raizx1+x) - integral x cdot 12 raizx(1+x) , dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 12 raizx(1+x) , dx = 12 integral raizx1+x , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral 12 integral t1 + t^2 cdot 2t , dt = integral t^21 + t^2 , dt . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja t^21 + t^2 = 1 - 11 + t^2 , então integral (1 - 11 + t^2) , dt = integral 1 , dt - integral 11 + t^2 , dt = t - arctan(t) + C e t = raizx implies integral raizx1+x , dx = raizx - arctan(raizx) + C .
Substituindo na integral:
Podemos simplificar a fração:
Então a integral fica:
Voltando à variável original :

Passo 6

Voltando à nossa expressão principal:
integral arcsin (raizx1+x) , dx = x cdot arcsin (raizx1+x) - 12 ( raizx - arctan(raizx) ) + C
Simplificando:
integral arcsin (raizx1+x) , dx = x cdot arcsin (raizx1+x) - raizx2 + arctan(raizx)2 + C

Resposta

A integral x cdot arcsin (raizx1+x) - raizx2 + arctan(raizx)2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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