Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente uma integral que envolve a função arco seno e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes e fazer algumas substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos usar na integração por partes. Lembrando que a fórmula da integração por partes é:
Aqui, vamos escolher:
-
(a parte que vai ser derivada) -
(a parte que vai ser integrada)
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
-
Calcular
: -
Calcular
:
Para achar, precisamos derivar em relação a . Seja. Vamos chamar , então . A derivada deé: Agora, derivamos: Diferenciando ambos os lados:Então:Portanto:Então:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
e
.
Substituindo na integral:
Podemos simplificar a fração:
Então a integral fica:
Voltando à variável original
:
Passo 6
Voltando à nossa expressão principal:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.