Mostre caso seja verdadeiro, ou de um contra exemplo para a afirmação. A função F(x) >= G(x) para x >= 0, onde F(x)=integral0^x e^t^2 d t e G(x)=integral0^x^3 d t3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por integrais: e . A pergunta é para a gente mostrar se é verdade para todo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração e comparação de funções, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar G(x) = integral0^x^3 13 , dt = 13 cdot t |0^x^3 = 13x^3 . A integral de em relação a é bem direta. Então,
Então, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . A função é sempre crescente porque a exponencial de qualquer número é positiva e aumenta conforme aumenta. Isso significa que quanto maior for , maior será .

Passo 4

Para comparar F(x) = integral0^x e^t^2 , dt e G(x) = x^33 , vamos analisar seus comportamentos. Sabemos que:
F(x) = integral0^x e^t^2 , dt >= integral0^x 1 , dt = x
e
Como para todo (porque e ), podemos dizer que:
Então, .
Agora, vamos comparar isso com . Para , sabemos que quando , mas como cresce muito rápido, vai crescer ainda mais rápido do que .

Passo 5

Além disso, podemos verificar os valores iniciais:
  • Para F(0) = integral0^0 e^t^2 , dt = 0 :
G(0) = 0^33 = 0
Então, .
E para , como mostramos que e para pequeno, e cresce mais rápido do que para maior, podemos concluir que para todo .

Resposta

A afirmação é verdadeira para todo .

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