Mostre caso seja verdadeiro, ou de um contra exemplo para a afirmação. A função para , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por integrais: e . A pergunta é para a gente mostrar se é verdade para todo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração e comparação de funções, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar . A integral de em relação a é bem direta. Então,
Então, .
Passo 3
Agora, vamos olhar para . A função é sempre crescente porque a exponencial de qualquer número é positiva e aumenta conforme aumenta. Isso significa que quanto maior for , maior será .
Passo 4
Para comparar e , vamos analisar seus comportamentos. Sabemos que:
e
Como para todo (porque e ), podemos dizer que:
Então, .
Agora, vamos comparar isso com . Para , sabemos que quando , mas como cresce muito rápido, vai crescer ainda mais rápido do que .
Passo 5
Além disso, podemos verificar os valores iniciais:
Para :
Então, .
E para , como mostramos que e para pequeno, e cresce mais rápido do que para maior, podemos concluir que para todo .